Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

В первом случае векторы J t .e R " и ^ e R " 1 е том и только том случае будут решениями задач (1) и (4) соответственно, когда они допустимы в этих задачах и удовлетворяют одному из двух эквивалентных соотно­ шений::

S**(z)== оо, и мы приходим к уже рассмотренному слу­

множество допустимых элементов пусто, а в первой либо это множество пусто (когда S (b )— oо ), либо миними­ зируемая функция неограничена снизу на допустимом

силу (7) выполнены равенства (8), эквивалентные усло­ вию (6). Итак, условия (5) и (6), действительно, рав­ носильны. Теорема доказана.

272 ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

§ 6.2, Теория квадратичных форм в гильбертовом пространстве

В этом параграфе излагается фрагмент вариацион­ ной теории квадратичных форм.

6.2.1. Определения. Для полноты изложения приве­ дем все необходимые для дальнейшего определения. Часть из них уже приводилась нами ранее.

Функция Q(x), заданная в линейном пространстве X, называется квадратичной формой, если существует та­ кая билинейная симметричная функция В(х,у), что

Отметим, что билинейная форма В определяется по Q

однозначно: В (х, у) — lU(Q (х + у) — Q(x — у)).

Квадратичная форма Q называется положительной

(неотрицательной), .если Q (x )> 0 при х ф 0 (соответ­ ственно Q ( x ) ^ 0 при всех х<=Х ). Аналогично опреде­ ляются отрицательная и неположительная формы.

Функция k(x) называется квадратичной, если

k (х) = Q (х) + I{х) + а,

где Q — квадратичная форма, / — линейный функционал и а — константа.

Далее X — это сепарабельное гильбертово простран­ ство. Квадратичную форму Q называют слабо непре­ рывной, если она непрерывна относительно слабой топологии Х\ слабо полунепрерывной снизу, если она по­ лунепрерывна снизу относительно слабой топологии про­ странства X. Наконец, квадратичную форму Q называют лежандровой, если она слабо полунепрерывна снизу и

ная размерность тех подпространств, на которых квад­ ратичная форма Q неположительно определена, назы­ вается ее индексом*) и обозначается ind Q.

Пусть В( х, у) — непрерывная в сильной топологии

о п р е д е л е н а .

есть при фиксированном у е ! линейная непрерывная функция на X. Следовательно, по теореме об общем виде линейного функционала в гильбертовом простран­ стве найдется такой элемент г] = Лу, что

В (х, у) = (х fo).

Легко понять, что оператор А ^ З ’ (Х ,Х ), т. е. является линейным и непрерывным оператором, а в силу сим­ метрии функции В он является самосопряженным. От> сюда и из формулы (1) получается, что непрерывная квадратичная форма допускает следующее представ­ ление:

Q M = V2(A*U ),

где Л — непрерывный линейный самосопряженный опе­ ратор. Коэффициент ‘/г мы выбрали ради удобства. (Отметим, что ранее в п. 0.2.5 мы последнее соотноше­ ние принимали за определение квадратичной формы.)

если он всякое ограниченное множество переводит в от­ носительно компактное или, что равносильно, всякую

гладких задач, к которым применимо следствие 1 из теоремы 1 § 1.1. Из этого следствия сразу вытекает та­ кое утверждение.

является собственным вектором оператора Л, и при этом собственное число является значением задачи (5).

Действительно, уравнение (3) дает

гранжа равнялся бы нулю, чего не может быть. Следо­ вательно,

Axt = Xxt.

Домножая это равенство на х*, мы получаем, что

Х= (Л**|*»), что и требовалось.

6.2.3.Слабо непрерывные формы. Теорема Гильберта.

Т е о р е м а 1 (Гильберт). Для того чтобы квадратич­ ная форма Q (jc) = V2 (А л: |jc) , где Л — линейный непре­ рывный самосопряженный оператор, была слабо непре­ рывной, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был компактным. При этом существует ортонормированный базис еи , . . , еп, . . . в пространстве X, состоящий

из собственных векторов оператора А, в котором форма Q принимает вид

нию это означает, что всякую слабо сходящуюся после­ довательность он переводит в сильно сходящуюся. По­ кажем, что форма Q — слабо непрерывна. Пусть хп слабо сходится к х. Тогда по теореме Банаха — Штейнгауза эта последовательность является сильно ограни­

Достаточность доказана.

Необходимость докажем, выведя предварительно со­ отношение (6). Базис еи . . . , еп, . . . будем строить ин­ дуктивно. Для определения щ рассмотрим экстремаль­ ную задачу: