Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 199
Скачиваний: 0
276 |
|
ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ |
|
|||
В силу следствия 2 из предложения |
1 вектор еi являет |
|||||
ся собственным вектором оператора А: |
|
|||||
|
|
Аб) — |
I Я] |= |
а.\. |
|
|
|
Пусть |
теперь |
п |
ортонормированных |
векторов |
|
е\......... |
е„, |
являющихся собственными векторами опера |
||||
тора А с собственными значениями |
. . . , |
Яп, уже по |
||||
строены. |
Рассмотрим экстремальную задачу: |
|||||
|
I Q M |-> sup; |
(л:|л:)< 1 , (jc |ef) = |
0, г = |
1, |
||
Значение этой задачи обозначим ап+1. Существова ние решения в этой задаче сразу вытекает из слабой компактности единичного шара в X. Ясно и то, что если ап+1 Ф 0, то решение en+i принадлежит единичной сфе ре и, следовательно, является решением задачи:
Q(jc) —►inf (sup); (х \х) = 1, (х|е,) = |
0, |
/ = 1 , . . . , п. |
В силу предложения 1 найдутся числа Я0, Но........ н« |
||
такие, что |
|
|
П |
|
|
^oAert+1 + Hoe«+i + i i |
= |
0. |
i = l |
|
|
Домножив это равенство последовательно на ei......... еп
и использовав |
ортонормированность |
системы |
еи . .. |
||||
. . . , |
еп+и получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
Я0(Ле„+1 \ек) + |
^ = |
Х0(Аек |е„+1) + |
ц* = |
pfe = |
0, |
|
т. е. |
(Хй = 0. k = |
1, |
. . . , |
п, а значит, Яо Ф 0 |
(ибо |
иначе |
|
все множители Лагранжа были бы нулями) |
и Aen+i — |
||||||
=(—poAo)en+i. Таким образом,
|
А в п + \ == ^71+I^rt + I» 1 ^«+1 I = |
+ |
|
|
Итак, |
en+i — собственный |
вектор, и мы можем |
продол |
|
жать |
наше индуктивное построение. Если же ап+1 = 0, |
|||
то получается, что на |
подпространстве |
ортого |
||
нальном к еи . . . , е п, оператор А является нулевым и,
§ 6.2. ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ |
277 |
|||
п |
|
|
|
|
значит, х = 2 xke k + 1, |
£ е |
и |
|
|
k=\ |
|
|
|
|
Q (x) = '/г (Лл: |я) — '/г ^A ^ 2 хкек+ |
|2 хкек+ |) = |
|||
= |
Va 2 |
M * * )2= V » |
I ] M * | e ft)2- |
|
|
a=i |
|
|
fe=i |
В этом случае теорема Гильберта уже доказана. Подведем итоги. Либо наше индуктивное построение
приводит к тому, что оператор А оказывается конечно мерным, либо оно продолжается неограниченно. Нера венства |Xi|^|^2| ^ ••• следуют сразу из наших по строений. Далее, последовательность единичных векто ров е„ слабо стремится к нулю, откуда
I А-п I = I (Ae„ j £„) |= 2 1Q (е„) |—> 0.
Рассмотрим, наконец, ортогональное дополнение Lx к подпространству L, натянутому на все векторы в\, ...
. . . , е„, ... , и следующую задачу:
|
|
|Q(x) |->sup; |
(*|л:)^1, |
x e L 1 . |
|
|
|
||||||||
Ее значение есть нуль, ибо оно не может превосхо |
|||||||||||||||
дить никакого ап+и a an+i—* 0. |
Значит, |
на подпростран |
|||||||||||||
стве /А квадратичная |
форма |
Q (x )= 0 . |
|
Взяв |
базис |
||||||||||
/ ь ... , |
fs, ... |
в |
подпространстве L1- |
и дополнив его |
|||||||||||
векторами |
еи . . . . еп, . . . , получим |
базис |
|
в |
|
простран |
|||||||||
стве X, состоящий из собственных |
векторов |
оператора |
|||||||||||||
Л. При этом имеет место равенство |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Q(*) = |
V2 (л |
|
{х\ек) е к + |
2 |
(x\fi)fi) |
2 |
|
(х\ек) е к + |
|||||||
|
\ |
\А=1 |
|
|
|
/ |
|
/ |
ft=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
(* lf,)f/) = |
|
2 |
|
bk{x\ek)\ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
k=\ |
|
|
||
Образ |
ЛВ(0, 1) = |
{y\y — Ax, |
(x | x )^ 1} |
|
единичного |
||||||||||
шара |
B {0, |
1) |
при |
отображении |
Л |
есть |
|
эллипсоид |
|||||||
2 ( Ж |
) 2/; Ц < |
1 |
с |
осями |
|Allen, . . . . |
|А„|е„, .. . |
Этот |
||||||||
эллипсоид в силу условия |Ап|—*■0 является компакт ным. Итак, оператор А является компактным. Теорема Гильберта полностью доказана.
278 |
ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ |
6.2.4. Минимаксное свойство собственных значений. |
|
Допустим, что |
Q(x) = 112{Хх\х) — неотрицательная сла |
бо непрерывная квадратичная форма. Тогда в силу тео
ремы |
Гильберта Л — компактный |
оператор и |
сущест |
||||||
вует |
базис |
в |
X, |
состоящий из |
собственных |
векторов |
|||
в\, ... , еп, ... |
оператора |
Л. |
Собственные |
значения |
|||||
|
|
являются неотрицательными в силу неот |
|||||||
рицательности |
Q. Покажем, |
что если A,n+i ф 0, |
то |
||||||
|
А,п+1 = |
inf sup {Q (x ) |
\{x |
\ x ) |
— 1, |
x <^Ln), |
(8) |
||
где нижняя |
грань |
берется |
по |
всем |
подпространствам |
||||
Ln размерности п. Действительно, по доказанному в теореме Гильберта
К+\ = sup (Q (x )\ ( х | лг) |
= 1, |
x ^ ( L n |
) 1 }, |
|
где L*n есть линейная оболочка |
еи . . . , |
еп. |
Значит, |
|
inf sup {Q W \ { х | х ) = |
1 , |
х е ! » 1 ). |
||
Пусть теперь Ln — любое |
n-мерное |
подпростран |
||
ство. Рассмотрим единичный вектор Хо, лежащий в под пространстве Ln+и натянутом на векторы еи .. ■, еп+и и ортогональный к Ln (такой, очевидно, всегда найдет ся) . Имеем:
|
л+ 1 |
|
|
|
л+1 |
|
Y |
---- |
y k p |
|
' (Х0 Iek)< |
2 « ) ! = К Г = 1 - |
|
0 |
Н, |
о |
к' |
|||
к—1 |
||||||
|
k= \ |
|
|
|
|
|
Следовательно: |
|
|
|
|||
sup {Q (х) |(х |х) = |
1, х <= Ln} > |
Q (х0) = |
||||
|
|
|
|
|
л+1 |
|
|
= |
2 |
к (*о I чт > (, |
™in. +, » ? , W 2= ^ 1 |
||
Итак, минимаксное соотношение (8) доказано.
6.2.5. Лежандровы формы. Теорема Хестенса.
Т е о р е м а |
2 (Хестенс). |
Лежандрова |
квадратичная |
форма имеет конечный индекс. |
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Снова, подобно тому, как |
||
это было в |
теореме 1, |
рассмотрим |
экстремальную |
§ 6.2. ТЕОРИЯ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ |
279 |
задачу: |
|
7г (А х \х) = Q (л:) —v inf; (jc|*)^1. |
(9) |
Существование решения в задаче (9) обеспечивает тео рема о существовании минимума полунепрерывного сни зу функционала на компакте. Следовательно, по след ствию 2 из предложения 1 всякое отличное от нуля решение задачи (9) есть собственный вектор опера тора Л. Пусть
Ле1 = Я,е1( (б1[е1) = 1, Я ,!<0.
Будем опять индуктивно строить ортонормированную систему , еп, . . , , последовательно решая экстре мальные задачи:
V2 (Л* |x)==Q(x)->inf; (аг|л) < 1, (х|ег) = 0, (10)
г = 1, . . п.
Покажем, что наше построение оборвется через конеч ное число шагов. (Это выразится в том, что экстре мальная задача (10) не будет иметь ненулевого ре шения.) Действительно, допустим, что мы построили счетную систему векторов
G i f . * • , &nt • * • | |
^ п ^ п > I I 1 1 |
я ,< я 2< . . . |
. . . < 0 . |
Последовательность единичных векторов {еп} слабо схо дится к нулю. Значит, в силу полунепрерывности фор мы Q снизу в точке нуль, мы получаем (использовав монотонность последовательности кп)
lim %п = lim |
— Urn (Аеп \еп) = |
tl~> ОО |
п-> о о |
|
= lim 2Q (e„)> 2Q (0) = 0. |
|
n->oo |
Итак, lim Хп = |
0. Следовательно, {еп} слабо сходится |
к нулю и Q(en)knl2 -+0 . По условию форма Q — лежанд-
рова, отсюда должно |
следовать, что |
||еп||->0, но это |
не так. Значит, через |
конечное число |
шагов наше по |
строение закончится. Пусть построение оборвется через N шагов. Тогда на ортогональном дополнении L
280 |
ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ |
|
L N= \ i n { e v |
. . . , е м] форма |
обязана быть положитель |
ной. Любое |
подпространство |
L размерности большей, |
чем N, имеет непустое пересечение с Ljj и, значит, на этом подпространстве форма Q не может быть неполо жительной. Отсюда следует, по определению индекса, что ind Q ^ N. С другой стороны, на самом простран стве Ljv форма Q, очевидно, неположительна, т. е. ind Q ^ N . Итак, indQ = M Теорема Хестенса доказана.
Взаключение приведем формулировку теоремы,
характеризующей |
слабо |
полунепрерывные |
снизу |
||
формы. |
|
|
|
|
|
Т е о р е м а 3. |
Для того чтобы квадратичная |
форма |
|||
Q(x) — V2 (Ах |х) |
была слабо полунепрерывна снизу, не |
||||
обходимо и достаточно, |
чтобы пространство |
X |
можно |
||
было бы разложить на |
два |
подпространства |
L+ и L-, |
||
причем на L+ форма Q |
неотрицательна, а на |
L - — от |
|||
рицательна и слабо непрерывна.
Доказательство ее основано на тех же идеях, что и доказательство теорем 1 и 2.
§ 6.3. Квадратичные функционалы в классическом вариационном исчислении
6.3.1. Определения и простейшие свойства. Мы будем изучать квадратичные формы одномерного вариацион ного исчисления следующего вида:
и
Ж (х ( ■)) = j |
К (t, |
х, х) dt = |
|
и |
|
л |
|
|
|
|
|
|
= |
J ((Ах \х)-\-2 (Сх \х) + (Вх |л:)) dt, (1) |
|
|
|
*0 |
|
где матрицы |
.4 = |
A (t), В = В (t) и С — |
C(t) имеют |
размеры м X Ц и |
непрерывно зависят от t. Матрицы |
||
A(t) и B(t) |
можно считать симметричными. |
Роль квад |
|
ратичных форм такого вида в классическом вариацион ном исчислении весьма велика, ибо вторая вариация простейших функционалов классического вариационно го исчисления, как это следует из § 2.2, является квад ратичной формой вида (1).