Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

§ 6 3. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

281

U

U п

J |х (/) |2 dt — J

(xk (i)f dt < оо.

Скалярное произведение

в

пространстве

W", i {[to, U] )

задается

формулой

fI

И

■ ) \ у {

•)) = (*(*о)\ y ( Q ) + | ( X( t) \ y ( t ) ) d t .

о

to

t\\) обозначается далее подпространство

Через W",i([to,

пространства

W2 , i ([/о, U]),

состоящее

из

вектор-функ­

ций x(t),

обращающихся

в

нуль на

концах

отрезка:

х (t0) = х (/,) =

0.

утверждения

о

простран­

Докажем

два важных

Нш Ж (хт(-)) = (А(х)1\1).

(2)

конструкции вариации Лежандра, см.

рис. 5 на стр. 130.

Проведем

его

для внутренней

точки

т

отрезка

[/0, /л].

Обозначим Ат = |^ М^ — т

Рассмотрим

после­

довательность

v /- t v

f

{{ Ц 2 У п г )~ 1 У m\t — x\)

при

/ e A m,

l

0

при

t ф. Am.

282

ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Покажем,

что она — искомая.

Непосредственный под­

счет показывает, что

норма функции хт (*;|> т)

в про­

странстве

W%, 1 ( [^о, ^]) равна

]£|

и, значит, последова­

тельность * т(*;£ »т )

не сходится

к нулю сильно. Пока­

жем, что

она слабо

сходится

к

нулю. Пусть

у (t) е

е W%,1 ( [^о, ^1]). Тогда в силу

неравенства Коши — Бу-

няковского:

1 {xm{t\ g,

\(хт(-\ g,

х)\у (•))! =

т) \ij{t))clt

<IUm( • I ,

т)||

Чг

max \В {t)\\ = О (i/m)

J

t е l<0. <ll

дт

равномерно ограничено и,

значит,

среднее

слагаемое

в (1)

J (С (0хт(*;

т)) dt

т) \хт {t\ g,

также стремится к нулю.

Наконец,

в

силу

теоремы о

среднем, мы получаем, что

J (A (t) хт(/; I, т) |

(/; g, т)) dt -* (Л (т) g 1g).

§ 6.3.

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

283

х (t) в пространстве W2,\ ([/о,

#j]), то она сильно сходит­

ся к x(t) в пространстве L2{[t<>, fij).

теоремы Банаха —

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В

силу

Штейнгауза из

слабой

сходимости

последовательности

Хт(-)

к х( - )

следует,

что

последовательность хт (-)

сильно ограничена в W2,\([to, ^1]),

т. е. существует

та­

кая константа С',

что

U

(*« (to) I

(to)) +

J (*» (t) \*m(0 ) & <

( П 2.

*0

Кроме

того*),

JC»(/0) =

(^m( - ) l / *( - ) ) - >( Jf ( *) l / *( - ) )

=

= xk(t0).

Рассмотрим вектор-функции

ek (t, т) =

(0,

. . . . О,

e(t, т), 0,

0),

где на k-м месте стоит функция

(

t — t0

при

t0^

<

т,

e(t,

т)

|

т

^

ПрИ

t >

т.

Имеем в силу слабой сходимости:

Т

(**( •> I ek ( ' > *)) = | Xi

(0 dt =

*£ (Х) -

Xm(to)~*

-> (* (• )

\ек(•, т)) =

хк(т) — xk (t0).

Из последнего

соотношения

и того, что

(tQ) —>•хк(^0),

получается, что xm(t)

поточечно стремится к x(t). Но, с

номерно

ограниченной

в метрике Cn([/o,?i]). Действи­

тельно,

в силу

неравенства Коши — Буняковского:

I Xm(t) -

xm (to)\<Vt^To\\xm( ■) Itn .

w2,1

*) Через /*(•)

обозначен

далее элемент W%t i ( [^o* ^1 ])* У K0T0'

г,

J (Хт(0 — -«(01 Хт(0 — X(0) dt

0,

*0

что и требовалось.

утверждения относятся к квадра­

Следующие два

тичным формам в произвольных гильбертовых про­

странствах.

3.

Неотрицательная

непрерывная

П р е д л о ж е н и е

квадратичная форма в гильбертовом пространстве слабо

полунепрерывна снизу.

Пусть

{хп}

слабо

стремится

Д о к а з а т е л ь с т в о .

к х. Тогда

Ит 2 (Q (х„) — Q (х)) =

Пт ((Ахп |хп) — (Ах |х)) =

П - > о о

г г ~ > о о

— Пт (А (х„ — х) |х„ — х) + 2 (Ах \хп) — 2 (Ах |х) ^

П

- >

о о

^ 2 Нт ((Лх|х„) — (Лх|х))==0.

П - > ОО

П р е д л о ж е н и е 4.

Если х„ слабо сходится

к х, а

уп сильно сходится к у,

то

{Хп \Уп)-*{х |у).

Доказательство

(в

силу теоремы

Банаха — Штейн*

гауза)

следует из элементарной выкладки:

I (х„ \уп) — (х I у) |= |(х„ |Уп — У) + (У I Хп — х) К

<l|jf„|||| Уп — г/1! + 1(у \хп — х) к

<С|| Уп — г/11 + l (У \хп — х) |->0.

6.3.2.

Слабая

непрерывность, слабая полунепрерыв-

ность снизу и лежандровость форм Ж

(х(-)).

форма

Т е о р е м а 1. Для того чтобы

квадратичная

Ж( х ( - ) ) вида (1) была слабо непрерывна в простран­

стве

\Vl 1 ( [/о, <i]),

необходимо

и

достаточно,

чтобы

Л(/) =

6!

Н е о б х о д и м о с т ь .

Допу­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

стим,

что форма Ж ( х ( - ) ) слабо непрерывна,

но,

вместе

с тем,

А ( /) ^ 0 . В

силу

непрерывности A(t)

найдется