Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 196
Скачиваний: 0
|
|
§ 6 3. |
ВАРИАЦИОННОЕ |
ИСЧИСЛЕНИЕ |
|
|
|
285 |
|||||||
внутренняя |
точка |
т е ( / 0, М , |
где |
А { т) |
ф 0. |
Это |
озна |
||||||||
чает, |
что |
для |
некоторого |
|
вектора |
| е |
R" |
имеем |
|||||||
(А (т)|||) Ф 0. Взяв последовательность |
xm{t\\,x), |
ко |
|||||||||||||
торая была построена в предложении |
1, |
получаем, |
что |
||||||||||||
хт(-',1,т) слабо |
сходится |
к |
нулю |
в |
то |
время, |
как |
||||||||
Ж (Хт(‘ \£, т))-> {А (т)1|с) |
ф 0. |
Но |
это |
противоречит |
|||||||||||
слабой непрерывности формы Ж. |
предложения |
2, |
если |
||||||||||||
Д о с т а т о ч н о с т ь . |
В |
силу |
|||||||||||||
xm(t) — последовательность, |
слабо |
сходящаяся |
к |
x(t) |
|||||||||||
в пространстве W2,\{[to, U]), то |
xm{t) |
сильно |
сходится |
||||||||||||
к x(t) в пространстве |
L2{[t0, ^]). Из |
определения |
сла |
||||||||||||
бой |
сходимости в пространстве |
W? i ([/о, |
^i]) |
сразу же |
|||||||||||
вьпекает, что последовательность хт( •) слабо сходится
к jt(-) |
в |
пространстве |
L2([t0, Л]). |
В |
силу сказанного |
||
оба слагаемых |
в (1) |
|
|
|
|
||
Ц |
|
|
|
|
|
|
|
j |
(С (/) *п (/) |хт(0) dt |
и J |
(В Оt) хт (t) |хт(0) dt |
||||
to |
|
|
|
t* |
|
|
|
|
|
|
tx |
|
|
|
tx |
стремятся |
к |
J (C (t) x (t) \x (t)) dt |
и |
j |
(B (t) x (t) |x (t)) dt |
||
|
|
|
h |
|
|
to |
|
соответственно (в силу предложения 4) и, следова
тельно, |
форма |
Ж { х { - ) ) (при условии, что A (t) = 0) |
является |
слабо |
непрерывной. |
Т е о р е м а 2. |
Для того чтобы форма Ж ( х { - ) ) была |
|
слабо полунепрерывна снизу в пространстве W% \([Ф, ^i]), необходимо и достаточно, чтобы было выполнено усло вие Лежандра, т. е. чтобы матрица A(t) была неотрица тельно определенной для любого t е [/о, Ф].
Д о к а з а т е л ь с т в о . Н е о б х о д и м о с т ь . Если в предположении слабой полунепрерывное™ снизу фор
мы Ж( х ( - ) ) допустить, |
что в некоторой точке т (= [Ф, ф] |
||||
для некоторого |
| е |
R” |
выполнено |
неравенство |
|
(Л(т)|||) |
< 0 , |
то снова, |
взяв последовательность |
||
т) |
из предложения 1, |
получим, что она слабо |
|||
стремится |
к нулю в то время, |
как |
|
||
Ж (х,п (■-,%, т ) ) - * ( Л ( т ) Ш < 0 = ЯГ(0),
чего не может быть.
286 |
ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ |
ЗАДАЧИ |
|
|
Д о с т а т о ч н о с т ь . |
Пусть |
A (t) > 0 для |
всех |
|
t ^ [ t Q, |
Имеем: |
|
|
|
где |
X ( x ( - ) ) = |
X t (х( -)) |
+ Х 2(х(-)), |
|
|
Jt, (A(t)Jc(t) \х (/)) dt, |
|
||
|
Ж х(х( •)) = |
|
||
|
Х 2{х{ -)) = Х { х { - ) ) - Х х(х{-)). |
|
||
В силу теоремы 1 форма Жг слабо непрерывна |
и тем |
|||
более слабо полунепрерывна снизу. Форма Ж^ очевид ным образом неотрицательна, значит, по предложению 3 она полунепрерывна снизу, а тогда и форма Ж яв ляется таковой же.
Т е о р е м а 3: Для того чтобы квадратичная форма Ж была лежандровой, необходимо и достаточно, чтобы
для всех t е [to, U] матрица A(t) |
была положительно оп |
||||
ределенной. |
|
Необходимость |
условия |
||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|||||
A ( t ) ^ 0 |
следует из |
теоремы 2. Допустим, что |
|||
[А{t)g|g) |
= 0 , |
g ф 0. |
Снова |
возьмем последователь |
|
ность xm(t;l, т) |
из предложения 1. Она слабо |
сходится |
|||
кнулю. Далее,
Ж( х т( - ; g, т ))-* ( Л ( т )Ш = 0.
Значит, по определению лежандровости последователь
ность xm(-;g , т) должна сходиться к нулю |
сильно, но |
|||
это не так. Необходимость доказана. |
t е |
[Yo, Д|, |
по |
|
Д о с т а т о ч н о с т ь . |
Пусть A ( t ) > 0, |
|||
следовательность xm{t) |
слабо стремится |
к x(t) в |
про |
|
странстве W2, j ([4, tx\) и при этом Ж (хт(• ))-> Ж {х(- )). Снова, разбив форму Ж( х ( - ) ) на две, как мы это сде лали при доказательстве теоремы 2, получим сразу, что
Ж 1(хт( . ) ) - > Ж 1(х( . )). |
(3) |
В силу строгой положительности матрицы A{t) найдет ся такое число у > 0, что для любого вектора g е R" и / е [/о, tx] выполнено неравенство
1112 = (1 1 1 )< У И (0 Ш ).
|
|
§ |
6.3. |
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
|
|
|
287 |
||||
Воспользовавшись им, получим: |
|
|
|
|
|
|
||||||
J \xm(t)— x{t) 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ta |
|
*1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
< |
У j |
(A (t) (.Хт (t) - |
X (0) I хт(0 - |
X(0) dt = |
|
||||||
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“ |
Y (# l(* « (■)) + |
# ! ( * ( ' ) ) ) - |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
— |
2 у |
Й |
х ( 0хт|( 0 )dt - > 0 . |
|||||
|
|
|
|
(ЛJ* ( 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
*0 |
|
|
|
|
|
|
Предельное стремление к нулю происходит в силу(З) и |
||||||||||||
слабой сходимости xm(t) к x(t). |
Кроме того, |
в силу сла |
||||||||||
бой |
сходимости |
хт( - )~*х( - ) |
получаем, |
что |
хт (^о)—*■ |
|||||||
~>x{t0). Суммируя, видим, что в норме |
WZ, i([^o, |
ti\) |
||||||||||
последовательность xm(t) стремится к x(t). Теорема 3 |
||||||||||||
полностью доказана. |
и достаточные условия неотри |
|||||||||||
|
6.3.3. |
Необходимые |
||||||||||
цательности и строгой положительности квадратичных |
||||||||||||
функционалов. |
Для того чтобы квадратичный функ |
|||||||||||
|
Т е о р е м а |
4. |
||||||||||
ционал J?(x( - )) |
был неотрицательным |
в |
WZ, i ([йь ^i]), |
|||||||||
необходимо, чтобы было выполнено условие Лежандра: |
||||||||||||
|
|
|
|
A { t ) > 0, |
fe=[f0, /,]. |
|
|
|
|
|
||
То же утверждение верно и для пространств W*, i ([4, |
/ 1]). |
|||||||||||
|
Доказательство сразу следует из предложения 1. |
|
||||||||||
из |
Отметим кстати, что теорема 4 является следствием |
|||||||||||
принципа |
максимума, |
точнее — из |
условия |
Вейер- |
||||||||
штрасса. (В частном случае, |
когда п = 1, |
мы |
устано |
|||||||||
вили это в п. 2.2.4.) |
что |
матрицы |
A(t) |
и C(t) |
не |
|||||||
|
Далее |
предполагается, |
||||||||||
прерывно дифференцируемы по t. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
Допустим, что на отрезке [/0, |
выполняется усилен |
||||||||||
ное условие Лежандра |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
A {t) > 0, |
* с= [/0, /,]. |
|
|
|
|
|
||
288 |
ГЛ. |
6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ |
Рассмотрим уравнение Эйлера функционала Ж. Оно |
||
имеет вид*) |
|
|
~ ^ r Ki + |
Kx = |
— ^ r (AJt + Ctx) + Cx + Bx = 0. (4) |
Для всяких |о ^ |
R" и |i <= Rn существует единствен |
|
ное решение этого уравнения, удовлетворяющее началь ным условиям x(t0) = So, x(t0) = Si.
В самом деле, усиленное условие Лежандра дает воз можность уравнению (4) придать вид линейной си стемы:
х — У, |
y = P(t)y + Q(t)x, |
|
(4') |
где |
- 1(t) (Л (t) + С* (t) - |
С (0), |
|
P ( t ) = - A |
|
||
Q ( 0 = — A~l (0 (С* ( 0 - 5 ( 0 ) . |
|
||
Для таких систем выполнена теорема существования |
|||
и единственности решения задачи Коши |
(см. |
теорему 1 |
|
§ 0.4). |
Ф (0 00 фундаментальное |
(матрич |
|
Обозначим через |
|||
ное) решение уравнения (4), т. е. решение, удовлетво ряющее начальным данным
ф (0 ,0 ) = 0, Ф (/0, t0) = I . |
(5) |
Точку т назовем точкой, сопряженной с точкой t0, если матрица Ф(т,/о) является вырожденной. (Отметим, что
при |
п = 1 определение сопряженной точки было дано |
в § |
2.2.) |
Очевидно, что это определение равносильно тому, что существует нетривиальное решение x0(t) уравнения (4), удовлетворяющее пулевым краевым условиям
*о (*о) = х0(т) = |
0, |
х0{()ФО. |
(6) |
|
Т е о р е м а 5. |
Пусть |
для |
квадратичной |
формы |
Ж( х ( - ) ) выполнено |
усиленное |
условие Лежандра. Тог |
||
да для того, чтобы она была неотрицательно определена
*) Уравнение (4) для функционала Э' ' ( х„ ( ) ) (*(•), х(-)) назы вают уравнением Якоби функционала У(х(- )) простейшей задачи вариационного исчисления (см. п. 2.2.5). В силу сказанного уравне ние (4) мы называем далее уравнением Эйлера — Якоби.
§ б.з. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ |
28 9 |
в пространстве W2,i([h, ^1]), необходимо, чтобы в ин тервале (t0,11) не было точек, сопряженных с точкой to-
Д о к а з |
а т е л ь с т в о . Допустим, что |
в |
интервале |
||
(t0, ti) есть |
точка |
т, сопряженная с точкой |
to, |
и придем |
|
к противоречию |
с |
неотрицательностью Ж ( х ( - ) ) . Возь |
|||
мем нетривиальное |
решение х0(t) уравнения |
Эйлера — |
|||
Якоби (4), удовлетворяющее краевым условиям (6). По
ложим |
х0 (t), |
если |
t е |
[/0, |
т], |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
О, |
если |
t е |
[т, |
0]. |
|
Интегрируя по частям, получаем |
|
|
|
|
|||
|
Т |
Хо, XQ) dt = |
|
|
|
|
|
|
К (t, |
|
|
|
|
||
|
to |
|
|
|
|
|
|
|
= J ((Ахо |ко) + 2 (Сх0 1х0) + |
(Вх0 1ха)) dt = |
|
||||
|
J (---- (Ax0+ C*xo) + |
|
+ |
Bxo |*0) dt = 0. |
|||
|
to |
|
|
|
|
|
|
По предположению форма Ж неотрицательно опре |
|||||||
делена. Следовательно, x*(t) доставляет минимум |
в та |
||||||
кой задаче оптимального управления: |
|
|
|
||||
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
Ж ( х ( ■)) = |
f K(t, х, |
и) dt->\nl\ |
х = и, |
(7) |
||
|
/ |
|
|
|
г |
||
|
x ( t o ) = x ( t l) = 0. |
|
|
|
J |
|
|
Применим к задаче (7) |
принцип максимума Понтря- |
||||||
гпна |
(теорема 1 из § 2.4). |
В соответствии с этой |
теоре |
||||
мой |
гамильтониан |
2@(t, x*(t), p ( t ) , \) |
является |
непре |
|||
рывной функцией на отрезке [to,t\]- Напомним выраже
ние для Ж: |
p(t), 1) = H(t, |
|
u,(t), /7(0, 1), |
|
Ж((, xt (t), |
xt {t), |
|||
где |
|
|
|
|
H (if, X, u, p, \) = |
(p\u)— K (t, x, |
u) = |
|
|
= (p\u) — (Au\u)— 2(Cu\x)— (Bx\x), |
ut{t) = |
x,(t), p(t)=* |
||
|
= 2A(t) и, (0 + |
2C* (0 x,(t) |
||
10 А. Д. Иоффе, В. M. Тихомиро!