Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

290 ГЛ. 6. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Из этих формул вытекает, что на отрезке [т, t{\ гамиль­ тониан тождественно равен нулю, ибо на этом отрезке

Если допустить, что у = 0, то вследствие усиленного условия Лежандра получится равенство нулю производ­

= 0. В силу теоремы единственности решения задачи Коши для линейной системы этого не может быть. Про­ тиворечие, к которому мы пришли, означает, что функ­ ция x*(t) не удовлетворяет принципу максимума, ибо Ж имеет разрыв в точке т. Следовательно, найдется до­

ленные условия Лежандра и Якоби, т. е. чтобы, во-пер­

(^о, t\\. В силу теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциального уравнения от начальных

x(t, А,) = Ф (* , — б)Л, A e R " .

{x(t,K)}, проходящая через точку (т, |). Действительно, для того чтобы было верно равенство х(т, А,) = £, необ­ ходимо и достаточно, чтобы Х=А,(т, £) = Ф~‘ (тД0 — 6)s. Вектор-функцию x(t,X(т, £)) обозначим x(t; т, £). По­ лучилось, что семейство экстремалей {x(t, ?^)} одно­ кратно покрывает полосу [^о, ^1] X Rn- (Отметим, что все эти экстремали обращаются в нуль в точке /о — б.) Та­ кое семейство называют центральным полем экстрема­ лей функционала Ж ( х ( - ) ) с центром в точке (t0— 6,0). Обозначим через U (т, |) вектор х(х;х, £). Вектор-функ­ цию U(т, £) называют функцией наклона поля x\t,K).

Отметим явное выражение для U:

клона поля.

Основная формула Вейерштрасса составляет фунда­ мент вейерштрассовской теории в вариационном исчис­ лении. Ее доказательство содержится в большинстве учебников по этому предмету. В гл. 7 будет приведен независимый от излагаемой здесь теории квадратичных форм вывод основной формулы Вейерштрасса (см. тео-

рему 3 из § 7.4).

Приведем выражение «З’-функции функционала

Ж { х { - ) ) :

&(t, х, X, 6) = ( Л (0 (| - * ) i s - * ) .

10*

Если воспользоваться этим выражением, то из (8) по­ лучается тождество (его можно проверить и непосред­ ственно)

# ( * ( • ) ) = t,

= j (А (t) (U (t,x(t))-x(t))\U(t, x(t))-x(t))dt, *(.) s W l и

из которого сразу следует искомая неотрицательная определенность формы Ж. Теорема доказана.

С л е д с т в и е . В условиях теоремы 6 квадратичная форма Ж ( х ( - ) ) является строго положительной в про-

W2, 1

Действительно, выберем а столь малым, что, во-пер­ вых, A ( t ) — а / > О (для всех £e[Yo,^i]), а во-вторых, чтобы на полуинтервале (to, t{\ не было точек, сопряжен­

ных с точкой to, у функционала Ж ( х ( - ) ) , получающегося из Ж ( х ( - ) ) заменой A (t) на A(t) — а/. Применив тео­ рему 6 к функционалу Ж, получаем требуемое.

§6.4. Дискретные задачи оптимального управления

6.4.1.Формулировка задачи. Дискретные задачи оп­ тимального управления (или задачи оптимального управления с дискретным временем) возникают при ис­ следовании таких управляемых объектов, в которых из­ менение управляющего воздействия и изменение теку­ щего состояния может производиться лишь в строго определенные изолированные моменты времени. Такого рода задачи часто возникают в приложениях. Например, многие задачи управления так называемыми импульс­ ными автоматическими системами, многие задачи управ­ ления, возникающие в экономике и т. д., естественно формулируются как дискретные задачи оптимального

управления.

условиям (2)— (5).

Мы получим в этом параграфе необходимое условие экстремума в задаче (1) — (5), известное под названием

дискретного принципа максимума, и опишем метод ди­ намического программирования, дающий удобный вы­ числительный формализм решения таких задач, с одной стороны, и содержащий возможный подход к получению достаточных условий в теории оптимального управле­ ния, с другой.

и отображения фг: R" X Ur-> RN, h0: Rn-> R S,Jh{: Rn—>-RS|

непрерывны по совокупности переменных и непрерывно дифференцируемы по х;

ft (х, w) < aft (х, и) + (1 — a) ft (х, v),

ф<(х, w) = аф( (х, и) + (1 — а) <р( (х, v).

*) Подчеркнем аналогию этой задачи с задачей оптимального управления с фазовыми ограничениями (см. задачу (1) — (5) в § 5.2).