Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 15.10.2024
Просмотров: 191
Скачиваний: 0
300 |
ГЛ. 7. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА |
возмущения задачи (1). В случае, если X — тополо гическое пространство, будут рассматриваться также и локальные S-функции, определенные в окрестности ре шения х# задачи (1):
Sy (z )= |
inf |
f(x,z). |
|
1 е С ( 2 ) П 1 / |
|
|
|
Здесь U — некоторая окрестность точки |
х„ в простран |
||
стве X. Такие функции будем называть S-функциями в |
|||
точке х*. |
|
|
|
Функцию ф(х), определенную на пространстве X, на |
|||
зовем К-функцией задачи |
(1) в точке х*, |
если она удов |
|
летворяет таким условиям: |
|
принимают одинаковые |
|
а) В точке х* функции ср и / |
|||
значения: |
|
|
|
/(*,) = ф (х.).
б) Функция ф достигает своего минимума на мно жестве С0 в точке х*:
ф (х)>ф (х„), * е С 0.
в) Разность f(x) и ф(х) неотрицательна на X:
f (х)— ф ( х ) > 0 , i g I ,
или, что то же, она достигает на X своего абсолютного минимума в точке х*.
Наряду с глобальными /(-функциями, определенными выше, будут рассматриваться локальные К-функции, когда условие б) выполнено лишь для точек х из пере сечения С0 с некоторой окрестностью U точки х*, а усло вие в )—лишь для х е ( / .
П р е д л о ж е н и е 1. Пусть для задачи (1) в точке х* построена некоторая К-функция (локальная К-функ ция). Тогда точка х„ является решением задачи (1) (до ставляет локальный минимум в задаче (1)).
Действительно, в силу свойств а) —в) получаем, что если х е С 0 ( х е С 0П (/), то
f (х) — f (х.) > ф (х) — ф (х.) > 0.
Легко понять, что если ф(х) есть /(-функция задачи
(1) в точке х „ то она будет Af-функцией любого другого решения задачи (1). Поэтому ее естественно называть
К-функцией задачи (1).
§ 7.1. МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ |
301 |
З а м е ч а н и е . Мы получили, что наличие /(-функции является достаточным условием минимума. Проблема состоит в том, чтобы доказать ее существование и указать способ ее построения. Некото рые общие приемы построения /(-функций обсуждаются в дальней ших параграфах. В возможности построения /(-функции находит свое
отражение принцип снятия ограничений, о котором говорилось во введении.
7.1.2. |
|
Стандартные |
возмущения |
и |
стандартные |
||||
/(-функции. Возмущение отдельной экстремальной зада |
|||||||||
чи может |
быть осуществлено разными способами. Однако |
||||||||
для задач, где ограничения задаются функционально, |
|||||||||
существует |
стандартная процедура возмущения. Пусть |
||||||||
А — некоторое множество (обычно это подмножество ли |
|||||||||
нейного |
пространства |
X), |
Y — линейное |
пространство. |
|||||
Рассмотрим |
задачу |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
F(x) — 0 , |
/,-(* )< 0 , |
1 < г ' < я , |
л: <= А. (Г/ |
||||
Здесь fp. Л -^R , |
0 < г < / г , |
|
F: |
Л ->• У. |
|
|
|||
Стандартным возмущением задачи (Р) будем назы |
|||||||||
вать такой класс задач: |
|
|
|
|
|
||||
/oU )->inf; |
F(x) — y = |
0, |
(х) — щ < |
0, |
|||||
|
|
г |
= 1, |
. . ., |
п, |
|
х <= А. |
|
(2') |
Стандартное |
возмущение |
не |
затрагивает |
функционал |
|||||
/0(х); класс |
возмущений 7, есть прямое |
произведение |
|||||||
Y X R"-
Перейдем к конкретным классам экстремальных задач.
— Г л а д к и е з а д а ч и с о г р а н и ч е н и я м и т и п а
р а в е н с т в . Так в п. 1.1.1 |
были названы задачи |
вида |
||
/ (х) —> inf; |
P(.v) = |
0, |
|
(3) |
где X и Y — банаховы пространства, |
F: X- +Y, f |
и F |
||
принадлежат классу С! в некоторой области UczX. |
||||
Стандартное возмущение задачи |
(3) имеет вид |
|
||
/(* )- * inf; |
F ( x ) — y = |
0 . |
(30 |
|
Значит, S-функция этого возмущения определяется так: |
||||
5 (у) = inf {f(x)\F{x) = |
y}. |
|
||
Стандартной К-функцией задачи |
(3) |
будем называть |
||
/(-функцию вида |
|
|
|
|
Ф(*) = (Ф ° F) (х), ф: |
К -> R. |
(4) |
||
302 |
ГЛ. 7. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА |
|
Из |
(4) следует, что на ограничении С0 = |
{х е X\F(x) = |
= |
0} функция ф(х) постоянна, и значит, |
требование б) |
в определении /(-функции выполнено всегда. Следова тельно, для того чтобы функция вида (4) была /(-функ цией (локальной /(-функцией) задачи (3), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения: ф(0) = = /■(*.), f(x) — (f(x)-^O, х «= X ( ЛГ€Е U). I
В ы п у к л ы е з а д а ч и. Пусть К~ и У — локально выпуклые пространства. Задачу (Г ) будем называть
выпуклой, если все функции /у, |
0 ^ |
i ^ |
п, и |
множество |
|||||
A czX |
являются выпуклыми, а |
ограничение |
типа |
ра |
|||||
венств задается аффинным соотношением F (х) — Ах |
Уо, |
||||||||
|
|
У). (В гл. 1 при рассмотрении выпуклых за |
|||||||
дач соотношения типа равенств отсутствовали.) |
|
||||||||
Стандартной К-функцией выпуклой |
задачи назовем |
||||||||
/(-функцию вида |
|
П |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ф(*) = — (у\ F (х)) — 2 |
Kfi (X) + /о (*„), |
(5) |
||||||
где |
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
= |
г = |
1, |
. . . 1 п. |
(5') |
|
Из соотношений (5) |
и |
(5') следует, |
что на ограничении |
||||||
С0 = |
{х е |
А ^ ( х ) = |
0, |
fi{x)s^L 0, |
1 ^ 1 } |
функция ф(х) — |
|||
— /о(*«) |
является неотрицательной, |
а |
вследствие |
(5') |
|||||
получаем, что ф(х») = |
fo(x«). Таким образом, |
для функ |
|||||||
ции ф(х), определенной соотношениями (5) и (5'), тре
бования а) и б) |
в определении /(-функций всегда |
вы |
||||||
полнены. Значит, для того чтобы |
функция ф(дс) вида |
|||||||
(5), |
(5') |
была /(-функцией выпуклой задачи, необхо |
||||||
димо |
и достаточно, чтобы было |
выполнено неравенство: |
||||||
|
|
/ (х) — Ф (х) > 0, |
JteA. |
|
|
|||
З а д а ч и в а р и а ц и о н н о г о |
и с ч и с л е н и я |
и |
||||||
о п т и м а л ь н о г о |
у п р а в л е н и я . Пусть |
|
||||||
|
3 |
(х (■), |
и (•)) |
= и f(t,x,J |
и) dt -* |
inf; |
|
|
|
|
|
|
*0 |
|
|
|
(6 ) |
|
х |
= Ф (/, х , и), |
X (/0) = |
х0, |
л (/0 = |
х и |
||
|
|
|||||||
и е U
|
|
§ 7.1. МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ |
3 0 3 |
|||||
■— задача |
оптимального |
управления |
с закрепленными |
|||||
граничными условиями. |
Рассмотрим отрезок [/о, t[], со |
|||||||
держащий |
отрезок [/0, / 1] внутри |
себя. |
Включим |
задачу |
||||
(6) |
в семейство таких задач: |
|
|
|
|
|||
|
Э (х (•), и (•), т) = |
J / (t, |
х, |
и) dt -> inf; |
|
|||
|
X = Ф if, X, и), |
|
*0 |
|
X (т) = I, |
(7) |
||
|
X {t0) = Х0, |
|
||||||
|
|
|
и е U. |
|
|
|
|
|
При |
этом |
вектор-функции |
x(t) |
и u(t) |
считаем |
опреде |
||
ленными на [/о, t\\. Возмущение (7) назовем стандарт ным возмущением задачи (6). Нижняя грань в послед ней задаче является функцией (т, |). В вариационном исчислении ее чаще всего называют функцией действия или эйконалом, в оптимальном управлении ее называют
функцией Беллмана.
Стандартной |
|
К-функцией |
задачи |
(6) |
в |
точке |
|
(х*(-), «*(•)) будем называть |
/(-функцию следующего |
||||||
вида: |
|
|
|
|
|
|
|
Ф {х ( •) ,« ( •) ) = |
9 |
(*, (•). и. (•)) + |
|
|
|
||
dg (/, х) |
dg (t, x) |
Ф (t, x, |
«)))*# + |
|
|
||
+ /(• |
dt |
+ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
g(*o. Xo) — g (t h |
X ,). |
(8) |
|
Без ограничения общности можно всегда полагать
g(ti,xi) = g(t0,x 0) = 0. |
Если |
(*(•),«(•)) — допустимая |
||||||||||
пара в задаче (6), |
то легко видеть, что |
|
|
|||||||||
|
|
Ф (*(•), |
и(-)) = |
9(х. (-), |
«.(О), |
|
|
|||||
т. е. свойства |
а) |
и б) в определении |
/(-функции выпол |
|||||||||
няются. Для |
того |
чтобы |
функция |
Ф(х( ■),«(•)) |
вида |
|||||||
(8) |
была /(-функцией, достаточно, |
чтобы неравенство |
||||||||||
f |
х, |
и) — dg (t, х) |
dg (t, x) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
dt |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- f ( t , x j t ) , u t (t )) >0 |
(9) |
|||
было |
верно |
для |
всех |
(t, х) |
и |
u ^ U и |
чтобы |
оно |
||||
обращалось |
в |
равенство, |
если x = |
x*(t), |
u — u*(t). |
|||||||