Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

ство

(9) имело место для (i, х )

из некоторой окрестности

V с

R X Rn> в которой лежат

точки (t,x*(t)).

Л(/)> 0, Л (/) (Ь (/) + В (0) - О2 (0 > 0.

(10)

---- (Л (0 й) + В (t) и = 0,

(11)

D + В — D2/A = 0.

(12)

квадратичной формы Ж(х(-)) в пространстве

О

1 ( [V М ) доста'

§ 7.2. ГЛАДКИЕ ЗАДАЧИ

305

f (х) -> inf;

F (х) = 0,

(1)

4>v W = (4>Y ° р ) (*) = -

<0*. F (х)> -

VII F (х) II + f (х.)

(2)

была бы локальной К-функцией задачи (1).

для

Поясним сказанное.

В теореме

1 утверждается:

мента y*^ Y *, что для любого

у > 0 можно подобрать

б = б(у) > 0, при котором функция

Фу (х) = f (х) — фу (х) =

f ( x ) — f (х.) +

{у , F (*)> +

+ y\\F(x)\\ =

2?{x,y-,

O +

y II^*) II- / ( * . )

О)

достигает в шаре B(xt, 6)

минимума в точке х„:

Фу (х )> Ф у (х4) =

0,

|х — х,||<6.

(4)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточность следует

из

вию х* — точка локального минимума в задаче

(1).

В силу правила множителей Лагранжа (теорема 1 §

1.1)

306

ГЛ. 7. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА

найдется

множитель Лагранжа

у* е У

такой,

что

Г к ) + / ( т , ) Г

= о.

(5)

Положим

g(x) =

f(x) — /(х *)+ (у *, F ( x ) ).

В

силу

(5)

получаем g (х*) = g'(x*) = 0.

Применим к отображению

F (х) теорему Люстерника из §

0.2. В соответствии с ней

найдется окрестность

V точки х*, константа k > 0 и ото­

бражение x~*z(x)

окрестности

V в X такие, что

F(x +

z(x)) =

F(xt) = 0,

|г (,t) ||< k |F {х) ||.

(6)

Найдем

е >

0

так, чтобы

при

выполнении

неравен­

ства \\х— х*|| <

е имели бы место соотношения:

a)

x<=V, б) f {х) — / (xt) >

0,

если

Л(а:)= 0 ,

в)

II g'(x) |<

yk~\

Соотношению

(76)

можно удовлетворить

потому, что

х*— это

точка

локального

минимума,

соотношению

(7в) — в силу непрерывности g ' (х)

в точке х*. Наконец,

найдем 0 <С б < е/2

так,

чтобы при ||х — х*|| < 6

было

выполнено

неравенство

ЦТ7(х) |<; е (2/г) —

Тогда

из-за

(6) при II* — xj\ <

б получим:

> —

s u p { II g' (£) \\\1<=[X,X + Z ( х )] } II 2 (х) II >

> ^ y k ~ l .k\\F(x)W^=-y\\F(x) ||.

Остается

положить Фу(х) = g(x) + у||/г(х) ||, и нужные

§ 7.2. ГЛАДКИЕ ЗАДАЧИ

3 0 7

# **(* ., Г . IMS.!) > 0 .

(9)

Функция 3? в (9)— это функция Лагранжа задачи (1)

3 — f { x ) Jr ( i f , F( x) ),

а у* — множитель

Лагранжа

из

теоремы

1. .

g е

Ker F' (х),

||g||=l,

но при

Действительно, пусть

этом

З хх (xt, у *, 1) (g, |) =

— а <

0.

Выберем

у >

0 так,

чтобы

y\\F"{xt) (6, g) ||<а/6,

и найдем 6 > 0

так,

чтобы

из неравенства ||x||<6 следовали соотношения

F {х, +

x ) — F (xj — F' (х.) х

± F " { x t) (x, x)

< a Ml2

6

3 (X,

+

X, - ) — 3 { x« ,

‘ ) — ( 3 x (xt,

•),*) —

'

xx

’ ) (^>

<

a M l 2

2

6

*

+ yt2II F" (х,) (|, 6) |+

- f 1 < -

~ = 0,

что

противоречит теореме 1.

**

7.2.2. Достаточное условие

минимума

в терминах

шения-.

|

З х (х„ i f , 1) = 0,

&хх{х„9\1){1,1)>аП IP. S e K e r F '(* .)

(а> 0)./^ Ш)

З а м е ч а н и е .

Условие

(10) означает,

что подпространство

L\ = Кет F'(xt) гомеоморфно

гильбертову пространству. Действи­

тельно, для |i, |г е

Li положим:

( h \ h ) = 3 xx (xt, ij\ 1)(|„

|2).

Из неравенств

(S 11) > о,

1 ^ 0 .

« mu2 < а и х

ii^ ii mu2

следует, что подпространство Ц гомеоморфно гильбертову.

Д о к а з а т е л ь с т в о

п р е д л о ж е н и я

1.

Снова,

как и при доказательстве теоремы 1,

применим

к ото­

бражению F ( x )

теорему

Люстерника

из §

0.2.

Пусть

2 (а:)— отображение

из этой теоремы,

удовлетворяющее

соотношениям

(6).

Из этих соотношении ясно, что если

F {jc) = 0, то 2 (х) =

0. Для доказательства нашего пред­

ложения достаточно проверить, что функция

^ ( x ) = f ( x , ) - { , r , F ( x ) ) - \ \ z ( x ) |

ного выше видно, что

ср(л:*) =

f (х*) и на

ограничении

задачи функция ср(х)

является

константой.

Значит, тре­

Осталось показать,

что существует 6 > 0 такое, что

при

\\х— л:*||<6

выполнено

неравенство

}{х) — q>( x) ^( ).

Положим, как и в теореме 1,

g(x) =

2 ? {х, у * ,

1 ) — / ( jc» ) .

Тогда

ясно,

что

g(jc*) =

0,

g'(x») = 0,

g"(x*) =

=

2 ’хх(х*,д¥, 1),

/(*) — ф(*) =

£ ( * ) + 1И*) II.

6i

Ле мм а .

Для

всякого е >

0 можно

указать такое

> 0,

что если

||fe — jc.II <

бь

/г(О =

0,

то

найдется

вектор

г ] е Х ,

по

норме

не больший

е||£ — jc*|| и такой,

что I — jc* — ц е

Ker F' (jc») .

Действительно, по теореме Банаха об открытом ото­

бражении найдется

константа г > 0 такая,

что

F'(x.)Bx (0,l)=>By (0,r),

(11)

где B.v(0,l)

и Ву(0,г) — замкнутые

шары

в

X и

У с

центром в нуле и радиусами

1 и г соответственно. Возь­

мем 6i > 0 так,

чтобы

при

||£ — дс*|| <

6i

выполнялось

соотношение:

II F (?) -

F (дс.) - F' ( jc.) (5

— х,) II <

er|U -

jc, ||.