§ 7.2. ГЛАДКИЕ ЗАДАЧИ |
309 |
Тогда, если /?(£) = 0, то
I k ' w t e - ^ i i s - ^ r v o i k r .
В силу (11) найдется вектор fj такой, что |fj ||<| 1 и
F' (х.) fj = F' (х.) (£ - х,) (|£ - |
хJ |
е Г 1. |
(12) |
Положим |
rj == еИg — xj|fj. |
Тогда из |
(12) |
следует, |
что |
F'(xt)y] = |
F'.(xt)(L>— X'), |
т. |
е. £ — х, — т] <= K e r f '(х.), и |
с другой |
стороны, |г| | |
е|| £ — хJ|. Лемма доказана. |
Возвратимся к доказательству предложения 1. Выбе |
рем е > 0 |
так, чтобы выполнялось неравенство |
|
|
а(1 — е)2 — 2Се(1 + е) — Се2 — е > 0 . |
(13) |
Здесь а — константа, фигурирующая в формулировке предложения, а С = |g" (х„) ||. По данному е > 0 найдем б] > 0 так, чтобы при этом 6i было выполнено утвер ждение леммы, а кроме того, оказались верными не равенства
1|£'(Ш1<1, |
|
|
S ( l ) ~ g (*.) — (g' (х,), (| - х,)) — |
|
|
~ у g " (х,) (6 - |
х., g - х,) |< 1 |
1|6 - |
x. |p |
при £ e B ( x „ 6i). Всего этого |
можно добиться |
при |
на |
ших предположениях относительно гладкости f(x) и F (х).
Наконец, |
по |
б! |
найдем б > 0 так, чтобы |
из |
того, что |
х е В (х„ |
6), |
следовало бы неравенство |
|
|
|
|
|
|
\\х + г(х) |< 6 , . |
|
|
Обозначив x-|-z(x) = |
£ и используя теорему о |
среднем |
и соотношения |
(10) и (13), получим: |
|
|
f (х) — qp (х) = |
g{x) -Н| г (х) [|= g(x) — g(x + |
z (х)) + |
+ g (0 + |
II г (X) и > |
- |
sup П1 g' (g) III £ e= В (x„ |
б,)) II 2 (x) II + |
|
+ |
II z W |
II + |
g (x,) + (g' (л:,), £ — xt) |
|
+ |
j g " W |
( £ - x . , £ - x , ) - | ||£-x,|F > |
^ у g " ( x .) (£ - |
£ - x .) - | |£ - x . IP. |
310 ГЛ. 7. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
Возьмем теперь вектор т] из леммы:
lh lK e | | £ - * J , £ - * . - Л < = К е г Г ( * ,) .
Тогда
( l - e ) I I S - . v J | < | | £ - x . - t i l K ( l + e ) | | 5 - x J | .
Воспользуемся тождеством
В (х, + х2, .Vi + х2) = В (хи xi) + 2В (хи х2) + В (х2, х2)
для квадратичной |
формы |
В (xh х2) = |
g" (xj (xl7 х2). |
Мы |
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 ё " (*.) (Е - |
|
Е - |
*.) - |
1 |
IIЕ - |
X, II2 = |
|
|
|
= \ ё " (*.) (Е— — л + л. Е — хл— л + л ) — f l l E - * . \ ? > |
> - j( a ( l |
— е)2 — 2С (1 + е)е — Се2 — е)||£ — х. \ ? > 0 . |
Предложение 1 доказано1__I |
|
|
|
|
7.2.3. |
Построение S-функции для гладких задач. Рас |
смотрим гладкую |
задачу |
(1) |
и ее стандартное возму |
щение |
|
/(* )-* inf; |
F ( x ) — y = |
0. |
|
|
|
|
|
|
Через S{tj) |
обозначим |
S-функцию |
этого |
возмущения |
в точке х», т. е. локальную S -функцню. |
|
отображение |
Т е о р е м а |
2. |
Пусть |
функция f(x) и |
F (х) принадлежат |
классу |
С2 |
в некоторой |
окрестности |
V точки х* и F (х*) = 0. Пусть далее: |
|
|
|
а) отображение F (х) |
регулярно в точке х,, |
|
б) существует множитель Лагранжа |
f e F * |
та |
кой, что |
|
|
& х (х„у ', |
1) = 0, |
|
|
(14) |
|
|
|
|
|
в) вторая производная функции Лагранжа строго |
положительна на ядре оператора F'{x*): |
|
|
|
|
|
|
|
l e K e r F'(x.) |
(a > 0). |
(15) |
Тогда существует окрестность U начала координат в пространстве Y, отображение У~*(х(у), у*(у)) этой
|
§ 7.2. |
ГЛАДКИЕ ЗАДАЧИ |
311 |
области в X X У* класса Сх в U такие, что |
|
х (0) = |
xt, |
y'(0) = |
i?t |
|
&х(х(У), У* (У), 1) = |
0, |
(16) |
&у'{х{у),У*{у)А) = У. ■ |
|
При этом S(y) = |
f ( x( y ) ) |
и функция S(y) |
принадлежит |
классу С1 в U. |
|
|
Обозначим |
произведение |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
X X У* через Z, |
а произведение X* X У— через W. Эле |
менты Z суть |
пары |
z — (x,y*), |
элементы W — пары |
w = (x*,y). Определим |
отображение Ч*1: Z X W - * W |
формулой |
|
|
|
|
|
¥ (z, w) — W ((х, у’), (х\ у)) =
— (2?х (х , у*, 1) — л:*, 2?у* (х, if, 1) — у) =
=(Г (х) + F'' {х) if — х', F (х) — у).
Всилу требований относительно гладкости, приве денных в теореме, функция Ч*- является непрерывно
дифференцируемой в окрестности точки (г, 0), где 2 =
— (х*,у*). Покажем, что отображение Ч*- удовлетворяет требованиям теоремы о неявной функции (см. п. 0.2.3). Действительно, согласно (14) имеем:
У (2, 0) = (Я?х (х„ у', 1), F (х,)) = (0, 0). |
(17) |
Применив теорему Шварца (см. п. 0.2.3), получим:
V, ((z, w)) (х, if) = Ч'* ((г, а>))л: + |
4V ((г, w)) у\ |
Продифференцируем отображение Д- |
по х |
и |
у' в точ |
ке (2, 0): |
|
|
|
|
Ч'* ((2, 0)) х = |
(2?хх (л:., у', 1) х, |
(х„ |
if, |
1) х), |
Ч'„. ((г, 0)) if = |
(х„ у', 1) if, 0). |
|
|
Нам надлежит показать, что отображение |
|
(х, if) - |
У х ((2, 0)) х + 4 V |
((г, 0)) f |
|
является гомеоморфизмом пространств Z и W. Вслед ствие теоремы Банаха об обратном операторе (п. 0.1.4)
312 |
ГЛ. 7. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА |
достаточно проверить, что это отображение регулярно и взаимно однозначно. Сначала проверим взаимную одно значность. Пусть
|
+ , «г, 0!) г, = |
((г, 0)) г2, 2, = |
(х., у*), |
/ = 1 , 2 . |
Тогда в силу (18) получится, что |
|
|
|
|
|
|
%,,*х (•+ У*, 1) (-И — х2) = F' (xt) (.v, — х2) = |
0, |
|
т. е. х , — х, €= Кег F' (xt) |
и, кроме того, |
|
|
|
|
З ’х.х +*> У*< 0 (+ - |
+ ) + &хУ* (*.. |
У*> !) (У* — У'г) = |
°- |
Выражение в |
левой части |
последнего равенства — это |
линейный функционал на X. Подействуем им на эле |
мент хх— х, |
и воспользуемся условием |
в) |
теоремы. |
Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = |
3?хх (дг„, у-, |
1) (xl |
Х2, A'j |
+ ) + |
|
|
|
|
|
|
+ <F'* (jcJ (у\ — у*2), х, — х2) = |
|
|
|
|
= |
хх (х„ у", |
1) (jcj — х2, Ху — х2) > |
а |х, — х21|2. |
Из последнего неравенства следует, что x t = |
x2 и, кроме |
того, у* — у2е |
Кег F'* (xj. |
Следовательно, |
для любого |
х е |
X выполнено равенство |
|
|
|
|
|
|
|
(F'’ (х,) (УJ — У’2), х) = |
(у\ — у*2, F' (дг.) х) = |
0. |
|
Из |
регулярности F' (xt) |
(требование а) теоремы) отсюда |
вытекает, что |
у\ = |
у*г |
Взаимная |
однозначность |
дока |
зана. Покажем теперь, |
что отображение + г ((2 , |
0)) |
регу |
лярно. Для этого надо решить систему уравнений |
|
|
&хх (+> У , |
1) х + З ’ху* (х„ |
у*, 1) у |
= |
х\ |
|
|
|
£yU (*., f , |
1 )x = F' (xt) х = |
у. |
|
|
|
Вследствие регулярности отображения F в точке х*, су ществует элемент х такой, что F'(x*)x = y. Остается
подобрать элементы £ е |
Кег F' (х*) н |
+ е |
Y* так, |
чтобы |
&хх (*.> у, 1)1 + |
3£ху*(х„ у, |
1) + |
= |
V, |
(19) |
где £* = х* — & хх(х„ у*,1)х. Выражение |
(£*, х), |
|
еК ег/^ Д х ,) представляет собой линейный |
функционал |
