Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 185

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
1)(|,х) = (Г, х).

§ 7.2. ГЛАДКИЕ

ЗАДАЧИ

313

на подпространстве

Кег F' (х* ).

Подпространство

Ker F' (лг*) гомеоморфно

гильбертову

пространству (см.

замечание к предложению 1),

где в качестве скалярного

произведения (х\у) взято выражение

 

&ХХ (*„ у\ 1) (х,

у),

х, у <= Кег F' (xt).

По теореме об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве, найдется элемент g такой, что

&\х) = 2?хх(х., у ,

Но это означает, что линейный функционал &хх{х*,У*,\)1 — 1* принадлежит (Кег F'(х*)) х. В силу леммы об аннуляторе (п. 0.i.4) существует такой эле­ мент Г]*, что

& х х ( х . , д \ m - r = F '* { x . ) y \\

Мы получили, что элементы | и —ц* удовлетворяют нужному соотношению (19). Регулярность отображения доказана.

Итак, доказано, что отображение W(z,w) удовлет­ воряет всем требованиям теоремы о неявной функции. Применив эту теорему, получим, что существует ото­ бражение w ->a( w) , а(0) = z такое, что W(a(w), w) = 0 .

В частности, положим (х(у), у* ( у ) ) = а(0, у). Тогда мы приходим к соотношениям (16). При этом в силу тео­ ремы о неявной функции отображения х(у) и у* (у) принадлежат классу Сi в окрестности точки jc*. Соот­ ношения (16) означают, что в точке х(у) выполнено правило множителей Лагранжа для задачи

 

 

/( * ) —> inf;

F (х) — у — 0.

 

(20)

Ввиду

того,

что

в

малой

окрестности

точки

х* строгая

положительность

квадратичной

формы

2 >хх(х(у),у*(у), 1)

на ядре

оператора

F'(x(y))

сохра­

няется

в силу

предложения

1, в точке

х(у) выполнено

достаточное условие минимума для задачи

(20). Следо­

вательно, f(x(y)) = S(y). Теорема доказана.

 

 

Построенное отображение

у - * х ( у )

естественно

на­

звать полем экстремалей. Мы

получили,

что

задача

(1)

314

ГЛ. 7. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА

 

равносильна безусловной минимизации

функции /(х)-+-

+ 07*.

Р(х )) + ( Ф ° 7 7) (х),

где у* =

— ЗД/Дх*)),

а

y(y) =

- ( S ( y ) - S ( 0 ) - { S ' ( 0 ) , y ) ) .

 

 

Именно этот результат обсуждался во введении,

когда речь шла о достаточных условиях. „7

 

§ 7.3.

Выпуклые задачи

 

 

 

Пусть задана экстремальная задача

 

 

 

f(x)-> in f;

х е С .

 

(1)

Предположим, что возмущенную задачу

 

 

 

f { x , z ) - > inf;

x<=C(z)

 

(2)

удалось построить таким образом, что

 

вы­

а)

класс возмущений Z — отделимое локально

пуклое пространство;

 

 

 

б)

f(x,0) = f(x),

С (0) = С;

 

в) S-функция S(z) выпукла.

Обозначим через С_1(х) многозначное отображение,

обратное С, т. е.

 

 

[z е Z |х <= С (г)}.

 

 

 

 

C~l (х) =

 

 

 

Т е о р е м а

1.

 

Пусть

выполнены условия

а) — в).

Если dS(0) Ф 0

и 2 * e d S ( 0 ) , то точка х , е С

в том и

только том случае является решением задачи

(1),

когда

функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф (х) = / (х) +

f (х.) +

 

sup

« 2 *, 2) — / (х, 2))

 

 

 

 

 

 

г е С " 1

(х)

 

 

 

есть К-функция задачи

(1)

в точке х».

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Если ф(х) есть /(-функция

задачи (1) в точке х*,

то

х* — ее решение в силу

пред­

ложения 1 из

§

7.1. Пусть

теперь х*— решение

задачи

(1), т. е. /(х*) — S(0).

Обозначим для краткости

 

 

ф ( х ) =

sup

 

((2*, 2 > — }(х, 2)).

 

 

 

Тогда

 

 

zeC -1 (х)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S* (2 *) = sup ((2*, z) —

inf

f (x, z)) —

 

 

 

z

 

 

zeC (z)

 

 

 

 

= SUp

sup

((2*, 2) — / (x, 2)) = sup Ф (x).

*

г е с ' М

x

I

§ 7.3. ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ

315

Поскольку z ' е

dS (0),

 

S{ 0) =

— S* (2,) = — sup 1|) (x).

 

Поэтому

 

X

 

 

 

 

— S (0) -------/ (x.) =

(2*, 0) - f (x„ 0) < ф (xj < -

S (0),

т. e. ф (xj = — 5 (0) и, значит,

<P(*.) = /W + S(0)-S(0)= f(x.).

Далее, f ( x ) ^ f ( x t) для всякого x e С. Поэтому

Ф (x) >

/ (X.) + / (x) + <2 *, 0) — f (x, 0) > / (x j =

<p (x,).

Наконец, для произвольного x

 

 

Ф (x) — / (x) = / (x.) +

ф (x) < 5 (0) +

sup ф (x) =

0.

Теорема доказана.

 

X

 

выполнении

условий

а) — в)

Таким

образом, при

проблема построения Д-функции сводится, по существу, к отысканию субградиентов S-функции в нуле, т. е. к

решению задачи

(3)

— S* (2 *) —►sup.

Эта задача называется двойственной с задачей (1)

(от­

носительно выбранного класса возмущений), а исход­ ная задача (1) часто называется прямой. В рассмотрен­ ном случае значения прямой и двойственной задач сов­ падают. Последний результат, очевидно, не связан с фактором существования решения в задаче (1) и (при выполнении условий а) — в)) справедлив, когда S-функ­ ция S(z) замкнута в нуле.

Все сказанное становится особенно наглядным в том

случае, когда задача

(1) имеет вид

 

/о (х) —> inf; F(x) = 0,

/ г( х ) < 0 , 1 = 1,

х <= А, (4)

и рассматривается вместе со стандартными возмуще­ ниями:

/о (х) -> inf; F (х) = у, / г ( х ) < а г, / = 1 .........п, х е ф (5)

При этом, разумеется, предполагается, что F есть ото­ бражение в отделимое локально выпуклое простран­ ство У. В этом случае S-функция S(y,a) определена на произведении У X R* (« = (аь . . . , а„)).

316 ГЛ. 7. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА

 

П р е д л о ж е н и е

1.

Если

вектор

(у*, b)

(ty'^Y*,

Ь — (jJi, .... Рп)) принадлежит dom S*, то рг«^0, / =

1, ..., п.

Если же р ,-^ 0 ,

/= 1 .........п, то

 

 

 

 

 

S’ (У*, b) =

inf Кг/*,

F (х)) +

2

Рifi (х) — /0 (*)) .

 

« е Д \

 

 

t = l

 

 

/

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По определению имеем

S’ (if, b) = sup «7/*, у) +

(Ь |а) — 5 (у, а)) =

 

 

(У. а)

 

 

 

 

 

 

 

=

sup ({if, у)+(Ь |a)— inf {/0 (x) \xzeA,F (x)=t/, ft (*)<a ,})=

 

(у. а)

 

 

 

 

 

 

 

=

sup (sup {(if, y) +

(b\a)\y = F(x),

at >

f{ (jc)} — f0(*)) =

 

J S l

 

 

 

 

 

 

 

 

= sup [«*/’ , E (*)) — fo (*)) + sup {(b |a)

(лг)}].

 

j e l

 

 

 

 

 

 

 

 

Если (if, b) e

domS*, то для любого x вторая верхняя

грань меньше оо. Если же одна из компонент вектора Ь,

скажем р1( положительна, то, выбрав

х е А

и а так,

чтобы al ' ^ f i (x), и положив а = (1,

0,

0),

получим,

что щ + ta{ ^ ft (х) для всякого t >

0 и (b, а +

ta) -> о о

при t - * o о .

Но это означает, что

S ( t f,

b) = о о , в про­

тиворечии с выбором (у*, Ь).

7 = 1 .........п.

Тогда,

Допустим

теперь, что

р ;^ 0 ,

очевидно,

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

sup {(b |а) |a, >

ft (х)} =

2

Рifi (х),

 

 

 

 

1=

1

 

 

откуда и следует нужное равенство.

Предположим теперь, что задача (5) удовлетворяет

условиям а) — в). Тогда,

если (у*,

Ь ) е <Д>(0,0), то в

силу теоремы 1

функция

 

П

 

 

 

Ф (х) =

S (0, 0) +

(if, F(x)) +

2 Рifi (х)

 

 

 

i=I

будет /(-функцией задачи (1) в любой точке х», яв­ ляющейся ее решением. Это значит, в частности, что функция

§ 7.3. ВЫПУКЛЫЕ ЗАДАЧИ

317

достигает минимума по х на множестве А во всякой

точке х*, являющейся решением задачи

(1).

В итоге мы

получаем следующий результат.

 

 

Т е о р е м а

V (теорема двойственности).

Предполо­

жим,

что S-функция S(y,a) задачи (5)

выпукла и зам­

кнута

в нуле.

Тогда значения прямой

и двойственной

задач равны, множество решений двойственной задачи

совпадает с dS(0, 0) и, если dS(О , О ) Ф 0 ,

то значения

обеих задач совпадают со значением задачи

/о М — 2 M i М — <У*. F (х)> —> inf;

х е= А,

i=1

 

где (у*,Ь) — произвольный элемент множества dS(0, 0).

Для выпуклых задач этот результат можно еще бо­ лее конкретизировать, поскольку там существуют про­ стые критерии для соотношения dS (0, 0) ф 0 , именно, —

условие Слейтера. Предположим, что в задаче

(1)

F —

аффинный оператор,

функции f0, .. .,

fn выпуклы и Л —

выпуклое

множество.

 

 

 

 

(1) F — непре­

П р е д л о ж е н и е

2.

Пусть в задаче

рывное аффинное отображение в Rm, функции /0, . ...

fa

непрерывны и выпуклы. Тогда, если значение задачи

 

(1)

конечно и выполнено условие Слейтера: O e r i /ДЛ)

и

/ Д х ) < 0 ,

i =

1, ...,

п,

для

некоторого

х е Л ,

для

 

ко­

торого

F(x) =

0,

то

S (y, a) — выпуклая

функция

и

д 8 ( О , О ) ф 0 .

 

 

 

Выпуклость

функции

5

оче­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

видна.

Докажем,

что dS(0, О ) ф 0 .

Для

этого достаточ­

но проверить,

что

(0, 0) е ri dom S,

и

воспользовавшись

тем, что

|S(0, 0) |<

оо по условию, применить предло­

жение 4 из § 4.2. В самом деле, пусть

(у, a ) e d o m

5.

Тогда,

поскольку O e r i /ДЛ),

найдется р >

0 такое,

что

У\ = — ру ^ F(A), т .

е. у \ = F ( х i) для некоторого х ^ Л .

Имеем при 0 ^

К ^

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ft (Л*1 + (1 -

А) X) < Kfi (х.) + (I -

A) f t (х),

 

 

и так как ft (х) < 0,

найдется

А0 > 0 такое,

что

 

 

 

fi (ДЛч +

(1

Aj) х)

^

А0раг,

/ —

1,

. . . ,

п.

 

 

Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хз= АоХх — (1— Xq) х, у2 = — А0ру, а2= — А0ра.

Смотрите также файлы