Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 180

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

318

ГЛ. 7. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА

Тогда

F(x2) = y2, fi(x2) < а , ь т. е. (у2, a2) e d o m S . Это

значит, что начало координат есть внутренняя точка отрезка, содержащего точки (у2, а2) и {у, а) и целиком лежащего в dom S. Поскольку (у, а) — произвольная точка множества dom S, отсюда следует, что (0, 0 ) е е ri dom S. Предложение доказано.

Комбинируя этот результат с теоремой 1, легко можно получить теорему Куна — Таккера и ее обобще­ ния, которые рассматривались в гл. 1.

§ 7.4. Достаточные условия экстремума в классическом вариационном исчислении

 

Достаточные условия будут обсуждаться на примере

простейшей векторной задачи:

 

 

 

 

б

 

 

 

У { х { •)) =

f L (t, х,

x ) d t - + M ]

 

 

 

и

 

(1)

 

x{t0) =

x0,

x{tl) = xl.

 

7.4.1. Условия слабого

экстремума.

 

П р е д л о ж е н и е

 

1. Если

интегрант L в (1) есть

функция класса С2 в области

U cz R X R” X R”, содер­

жащей точки (t, x,(t),

x,(t)),

xt (•) e Ci ([fo, M). то функ­

ционал 3 (x (•)) является

дважды дифференцируемым

no

Фреше в пространстве С" ([/о, /i]) в окрестности точки

х,

(•) и его первая

и вторая

производные имеют вид

 

 

б

 

 

 

 

з " ( * . ( • ) ) * ( • ) =

J

((р (0 I* (0) + (q (0 И 0 )) dt,

3" (х, (•))(*(•),*(•))=}((Л(0 к (0 \к (0) +

h

 

 

 

+ 2 (С (0 х (/) |л (/)) + (В (0 x(t)\x m

dt,

где

 

 

 

Р (0 = В& lx> (f).

Q (0 = Вх

{t),

A (t) — La

(i),

В (t) — Lxx }Xt <ty (3 )

2C (t) = (L\x + Lxx) \X' <t) =

^Lxx 1^ (t) — 2LXx 1^ (<r

§ 7.4. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

3 1 9

При этом для всякого е > 0 можно найти б > 0 так, что если x ( - ) < = L 0, т. е. если х (/0) = х (/,) = 0, и II * (•) lh < 6,

то остаточный член

r{x{-)) = 2f(xt (') + x( - ) ) - 2f ( x . { - ) ) -

- V ' ( x . (

( М О ) ( * ( •) , *(■))

допускает оценку

\г { х ( •)) |<е||л:( -)\fwn ^

Д о к а з а т е л ь с т в о . Однократная дифференцируе­ мость по Фреше функционала У (х( ■)) была установлена нами в п. 0.2.5 (пример 8). Положив

Ф(А) = У ( * , ( . ) + М - ) ) ,

по теореме о среднем, получим:

Ф (1 ) = у (*.(•) + *(•)) = ф (0) + ф' (0) + 7аф" (0), 0<е< 1,

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У ( х Л- ) +

х( - ) ) =

2?(х,(-))

+ Г ( х , ( - ) ) х ( - )

+

 

 

 

 

+

-J Jй((Авх I х) + 2 (Свх |х) +

(Ввх |х)) dt;

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

здесь

Л0,

В0 и С0

имеют 'вид (3), где вектор-функция

xt (t)

заменена

на xt (t)

§x(t).

 

 

и

 

Следовательно, У "(х*(-)) имеет вид (2)

 

 

 

Ц

 

 

 

 

 

2((С0 - С ) х \ х ) +

Г(х (•)) =

у J (((Л0 -

А) х |х) +

 

 

 

 

 

 

 

 

+ ((Be — B)x\x))dt. (4)

В силу непрерывности вторых производных инте-

гранта L в области U можно,

задавшись ei >

0, найти

такое

б >

0, что

при

IU ( •) Hi <

б получаются

неравен­

ства:

|Л0(0 -

А (0 |< в„

|В0(/) -

В (t) |< е„

 

 

 

 

 

II С0 (t) — С (t) |<

в],

V/ s

[/q>h]

 

 

320

ГЛ. 7. д о с т а т о ч н ы е у с л о в и я

э к с т р е м у м а

 

и,

следовательно,

 

 

 

I/■(*(■)) К 4rJ ((*1*) +2 |(х|х) |-j-(x|x))df.

(5)

 

*0

 

 

 

Воспользуемся теперь тем, что

если х ( - ) е ! 0,

т о

х (t) = Jt х (т) dx

tQ

и, следовательно, в силу неравенства Коши — Буняковского

I ^ O K V ^ i —

 

{x{t)\x(t))dt

 

 

 

откуда вытекает, что

 

 

 

 

 

 

 

f1

 

 

 

 

 

 

 

 

[ (х (0 |x(t)) dt <

С, (

max I х (t) |)2 < С\\ х (•) f « .

 

f

 

М

 

 

 

 

*2.1

 

*0

 

 

 

 

 

 

 

 

Если к этому прибавить неравенство

 

 

 

 

 

то сразу получается оценка (если положить (1 +

С) е, = е)

к (х ( ■ ))!<и« ,

J ((х(*)|х(0) +

(*(01*(0))< й <

 

 

^ U + O e H I x t - J l t »

=е||дс(-)ИIn

,

 

 

 

 

2, 1

 

 

w2, 1

 

которую и требовалось доказать.

 

 

производной

 

Уравнение Эйлера

для

второй

 

 

^ "(• М -)) (*(•) . *(•)) . 'т- е- уравнение

 

 

 

 

--^ -(Л х +

С*х) +

Сх +

£х =

°,

(6)

где А, В и С имеют вид (3), называется уравнением

Якоби задачи (1).

 

Т е о р е м а

1. Для того чтобы допустимая экстремаль

х,(-) задачи

(1) доставляла слабый

локальный мини­

мум в этой

задаче, необходимо (в

предположениях о

 

§ 7.4. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

 

3 2 1

гладкости интегранта L из предложения

1), чтобы было

выполнено условие Лежандра-.

 

 

 

 

 

A** ljc„(f) — Л (0 ^ 0,

i s [f0, t 1],

 

 

Если же на экстремали x*(t)

выполнено

усиленное

условие Лежандра, г. е. если

 

 

 

 

 

L^\xAt) = A {t )> Q,

fe= [f0, *,],

 

 

7-0 для того, чтобы x*(t)

доставляла слабый локальный

минимум

в задаче

(1),

необходимо,

чтобы

интервал

(t0, t\) не содержал точек, сопряженных с точкой t0

(от­

носительно уравнения Якоби (6)).

 

 

 

Напомним, что понятие сопряженной точки было

введено в п. 6.3.3.

 

Для того чтобы вектор-функ­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

ция х*(-)

доставляла слабый минимум в задаче

(1),

необходимо, чтобы выполнялись соотношения:

 

Г ( х Д - ) ) х (■) = <),

Д "(х. (•))(*(•). * (• ))> 0,

x(.)e= L 0>

Первое равенство имеет место в силу того, что х*(-) есть экстремаль. Второе неравенство означает, что квад­ ратичный функционал

3 "'(* .(• )) (*(■), * (• ) )= Jи((A(t)x\x) + 2(C(t)x\x) +

+ (B(t)x\x))dt

является неотрицательным на пространстве L0. Условия

неотрицательности квадратичных функционалов (в про-

О

странстве W<£ ь содержащем L0) были получены в тео­ ремах 4 и 5 из § 6.3. Применение этих результатов к на­ шему случаю сразу приводит к утверждениям теоремы.

Т е о р е м а 2. Для того чтобы допустимая экстре­ маль хД- ) задачи (1) доставляла слабый локальный минимум в этой задаче, достаточно, чтобы были выпол­ нены усиленные условия Лежандра и Якоби, т. е. чтобы для всех t из отрезка [/о, ^1] выполнялось бы неравенство

I*.(р = Л (0 > О

и полуинтервал (t0, не содержал бы точек, сопряжен­ ных с точкой t0 относительно уравнения Якоби (6).

I I А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров

Смотрите также файлы