Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

чить в центральное поле экстремалей, покрывающее об­ ласть V cz R X Rn. Пусть, далее, интегрант L{t,x,\) яв­ ляется регулярным по | (т. е. строго выпуклым по | при (/, х ) е У). Тогда кривая х*({) доставляет сильный минимум в задаче (1).

Доказательство сразу получается из сопоставления предложения 2 (которое в новых терминах можно сфор­ мулировать так: функция U (t, х) наклона центрального поля экстремалей порождает гильбертово поле функ­

выполнено в силу регулярности интегранта L. Теорема 3' тем самым доказана.

Теорема 3' является весьма полезной при получении достаточных условий в тех задачах, где удается найти общий интеграл уравнения Эйлера. Однако у нее есть существенный недостаток — ее основное условие (воз­ можность включить экстремаль х, (/) в центральное поле экстремалей) выражено не в терминах поставлен­ ной задачи. Окончательное достаточное условие будет получено в следующем пункте.

построенного по типу (9) для точки to— б, при достаточно малом б функция наклона поля равна

Ub (t, х ) = Ф (/, to - 6) Ф_| (/, to - 6) х,

откуда в силу основной формулы Вейерштрасса получаем равенство

б

Ж (х (•)) = J (А (<) (Ut (t. х) - х) 1U6 (t. x) - i) dt,

/q

x (•) e Lo,

на которое опирались в п. 6.3.3 при доказательстве теоремы 6, где было получено достаточное условие Якоби для неотрицательности квадратичного функционала.

минимума. Для того чтобы не отвлекаться на несуще­ ственные детали, будем предполагать, что интегрант L

x*(t) задачи (1), вдоль которой выполнено усиленное условие Лежандра, можно было окружить полем экс­ тремалей,, достаточно, чтобы на х»(-) было выполнено усиленное условие Якоби.

З а м е ч а н и е 1. На самом деле усиленное условие Якоби является и необходимым условием того, что экс­ тремаль можно включить в поле экстремалей. Но это обстоятельство далее используется лишь при решении задач, и мы не останавливаемся на его доказательстве.

З а м е ч а н и е 2. Будет построено центральное поле экстремалей, так что требование центральности может быть включено в формулировку предложения 3.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Уравнение Эйлера

-jjf Lx — Lx — LxxX + LxxX + Ln — Lx — 0

в окрестности экстремали x*(/) приведем (поделив на

Lxx (t, х, х ) > 0 ) к виду

Для последнего уравнения решим задачу Коши:

Покажем теперь, что при малых б и Я решения x(t,K) уравнений (10) с граничными условиями (10') образуют искомое поле.

Равенство x(t, 0) = *»(() имеет место в силу тео­ ремы единственности. По своему определению, вектор-

Дифференцируя это тождество по X (возможность провести такое дифференцирование гарантируется до­ пущениями относительно гладкости интегранта L и экс­ тремали **(•))> получим:

даментальное матричное решение уравнения Якоби за­ дачи (1). Из условия предложения 3 и из непрерывной зависимости решений от начальных данных получится, что при малых 6 > 0 матрица Ф (/, — б) является не­ вырожденной на всем отрезке [fo, М- Применив к ото­ бражению x(t,X) теорему о неявной функции, получим,

решение. Итак, x{t,X) есть центральное поле, покры­ вающее область

G = {(*, х) <= [t0, *,] X R" \\x — xt (it) |< e}

и включающее экстремаль x*(t). Предложение до­ казано.

З а м е ч а н и е . Анализ доказательства показывает, что для получения утверждения предложения 3 доста­ точна четырехкратная непрерывная дифференцируе­ мость интегранта и экстремали.

Суммируя все сказанное, получим окончательный ре­