Г л а в а 8
ИЗМЕРИМЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ВЫПУКЛЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
Эта глава содержит фрагмент сравнительно новой ветви анализа, посвященной изучению многозначных отображений. Изложенные в этой главе факты группируются главным образом вокруг понятия измеримости. Особенно важны теорема измеримого выбора и различ ные условия, гарантирующие измеримость многозначных отображе ний (§ 8.1), теорема А. А. Ляпунова, теорема о выпуклости интеграла от многозначного отображения (§ 8.2) и теорема о конволюционном интеграле (§ 8.3). Всюду в этой главе, если нет специальных огово рок, через (Т, 2, ц) обозначается произвольное пространство с конеч ной положительной мерой. Читатель, не знакомый с абстрактной теорией меры, может без ущерба считать, что Т — отрезок действи тельной оси, 2 — совокупность его измеримых (в смысле Лебега) подмножеств и ц — мера Лебега на Т.
§8.1. Многозначные отображения и измеримость
8.1.1.Определения. Пусть X и У — некоторые множе ства, а 2У — совокупность всех подмножеств множества
У. Многозначным отображением из X в У называется
всякое отображение
F: Х - > 2 Г.
С этим определением мы уже встречались в § 0.2. Мно жества
gr F = {(x, y ) e X X Y \ y * = F ( x ) } ,
dom F — \x e X |F (x) Ф 0 }
называются соответственно графиком и эффективным множеством многозначного отображения F.
Можно указать несколько естественных операций с многозначными отображениями. Если F и G — много значные отображения из X в У, то многозначные ото
бражения
x->(F U G )(x) = E(x)UG(x),
x ^( F ( \ G ) (x) = F(x)nG(x)
§ 8.1. МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ |
337 |
называются соответственно объединением и пересече нием отображений F и G. Если G — многозначное ото бражение из X в У, a F — многозначное-отображение из У в Z, то многозначное отображение
x - > ( F o G ) ( x ) = U F (у)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У^О(х) |
|
|
|
называется |
суперпозицией |
отображений G и |
F. |
Если |
У — линейное |
пространство, a F, Fu F2— многозначные |
отображения из X в У, то многозначные отображения |
|
x - * ( F t + |
F2) (х ) = |
Fi (*) + |
F2(х), |
|
|
|
х - » (aF) (x) — aF (x), |
|
|
|
|
|
x —►(conv F) (x) = |
conv F (x) |
|
|
называются |
|
соответственно |
суммой |
отображений |
Fu |
F2, произведением отображения F на число а и выпук |
лой оболочкой отображения F. |
|
|
|
|
Если У — линейное пространство, F — многозначное |
отображение из X в У и все множества F(x) |
выпуклы, |
то отображение |
F |
называется |
выпуклозначным |
или |
просто выпуклым. Пусть У — топологическое |
простран |
ство. Если |
все |
множества |
F(x) |
замкнуты |
(открыты, |
компактны), |
то |
многозначное |
отображение |
F назы |
вается замкнутозначным (открытозначным, компактно значным) или просто замкнутым (открытым, компакт
ным*)). Наконец, если X |
и |
У — топологические |
про |
странства и график многозначного |
отображения |
F |
из |
X в У замкнут, то это отображение |
называется |
полу |
непрерывным сверху. |
|
|
|
из |
|
в |
У и |
|
Пусть F — многозначное отображение |
X |
у(х) — (обычное) отображение множества X |
в У. Ото |
бражение у(х) называется |
сечением |
многозначного ото |
бражения F, если y ( x ) ^ F ( x ) |
при всех х 6 |
dom F. |
|
|
В этой главе мы рассматриваем главным образом |
многозначные измеримые |
отображения |
в |
R". |
|
Пусть |
(Т, |
2, р )— пространство с |
конечной |
положительной |
ме |
рой |
и пусть F — многозначное отображение |
из |
Т в |
Rn. |
*) В литературе эти термины часто употребляют в другом смысле: отображение F называют замкнутым (открытым, компакт ным), если его график есть замкнутое (открытое, компактное) мно жество.
338 |
ГЛ. 8. ИЗМЕРИМЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ |
Мы будем говорить, что семейство {jcv(•)} (v е N) из меримых отображений из Т в Rn аппроксимирует много значное отображение F, если для всякого v е N мно жество
{ / e 7 4 * v( / ) e F ( 0 }
измеримо и почти при всяком / е Г множество F(t) принадлежит замыканию своего пересечения с множе ством
U М01-
V е N
Многозначное отображение F из Т в Rn будем называть измеримым, если существует счетное семейство измери мых отображений из Г в Rn, аппроксимирующее ото бражение F. Многозначное отображение, одновременно измеримое и замкнутое, называется нормальным.
Естественным было бы следующее определение. Мно гозначное отображение F из Т в R" естественно на звать измеримым, если для всякого открытого множе ства A cz R" множество
{tc=T\F(t)()A=£ 0 }
измеримо. Это определение, однако, не совсем удобно для наших целей, так как получение с помощью этого определения нужных нам результатов сопряжено с ря дом технических сложностей, да и проверка измери мости конкретных многозначных отображений требует подчас больших усилий.
Рассмотрим некоторые примеры. |
|
Тогда |
1) |
П о с т о я н н о е |
о т о б р а ж е н и е . Пусть А с: R". |
многозначное отображение F ( t ) = A измеримо. |
Аппроксимирующее |
семейство образуют, например, вектор-функции xm(t) = хт, |
где |
'{•*!, *2, |
...} — счетное плотное подмножество множества А. |
‘ |
и |
2) |
О т о б р а ж е н и е |
К а р а т е о д о р и . |
Пусть l / c R |
g: Т X U-*■ R” — отображение, удовлетворяющее условиям Каратео
дори (см. § |
0.4), т. е. |
измеримое |
по t при |
всяком а е ( / и непре |
рывное по и почти при каждом t s |
Т. Положим F(t) = g(t, U). Тогда |
отображение F измеримо. Аппроксимирующее семейство может быть |
образовано, |
например, |
из вектор-функций |
хm ( t ) = g ( t , u m), где |
{«I, «2, ...} — счетное плотное подмножество множества 0. |
3) И з м е р и м а я |
т р у б к а . |
Пусть х(-)' Т-*■R" — измеримая |
вектор-функция, р (<)— измеримая почти всюду конечная неотрица тельная действительная функция. Положим
F ( 0 ={х е Г |
| Г * - |
х ( 0 К |
Р ( О ) . |
§ 8Л. МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ |
3 3 9 |
Чтобы убедиться в измеримости многозначного отображения F, до статочно положить xm(t) = x(l) + р (/)* т , где [xi,x2, ...} — счетное плотное подмножество единичного шара в R".
8.1.2. |
Элементарные |
свойства |
измеримых |
многознач |
ных отображений. Из определения сразу следует |
много-х |
П р е д л о ж е н и е |
1. |
Пусть |
F — измеримое |
значное отображение |
из |
Т |
в |
Rn. |
Тогда |
множество |
dom F измеримо. |
|
|
С |
точностью |
до |
множества |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
меры нуль |
dom F = U |
{ t ^ T \ x m(t)<=F(t)}. |
|
|
П р е д л о ж е н и е |
2. |
Справедливы |
следующие ут |
верждения: |
|
|
|
|
чем счетного семейства из |
а) объединение не более |
меримых многозначных отображений измеримо-, б) сумма измеримых многозначных отображений и
произведение измеримого многозначного отображения на число измеримы-,
в) если Ft и F — многозначные отображения из Т в Rn, причем отображение Fi измеримо и почти при вся ком t выполняется соотношение Fi(t)cz F(t)cz Fi(t), то отображение F тоже измеримо.
Доказательство следует прямо из определений.
П р е д л о ж е н и е 3. Выпуклая оболочка измеримого многозначного отображения — измеримое многозначное
отображение. |
|
Пусть F — измеримое |
много |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
значное отображение из Т в R". Положим |
|
|
Л=== |а== (а,, |
•. •, а„+1) G |
|
|
|
e R " + ,|ai |
|
п-И |
|
)• |
|
< = i |
|
неотрицательны, рациональны, 2 a f = l |
|
Для каждого а е Л положим |
|
|
|
|
п+1 |
|
|
|
f e (<) = |
S a,F (<) |
|
|
i=i
и пусть
Ф ( 0 = U Fa (t).
340 ГЛ 8. ИЗМЕРИМЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Отображение Fa измеримо согласно утверждению б), а отображение Ф — согласно утверждению а) предложе ния 2. Наконец, отображение Ф и conv F согласно тео реме Каратеодори связаны условиями утверждения в)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предложения 2. Предложение доказано. |
|
|
|
П р е д л о ж е н и е |
4. |
Пусть F — многозначное ото |
бражение из Т в Rn. Если для всякого |
х е |
R" множе |
ства |
{ t ^ T \ x ^ F ( t ) } |
измеримы и отображение |
F от |
крыто, то оно измеримо. |
Пусть |
D = |
{xlt х2, ...} — |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
счетное плотное множество в Rn. Так |
как |
множества |
F(t) |
открыты, |
пересечения D f| F(t) плотны в F(t). Для |
доказательства |
осталось |
положить xm(t)==xm. |
|
П р е д л о ж е н и е |
5. |
Пусть F\ и F2 — многозначные |
отображения из Т в R” , причем первое измеримо, вто |
рое |
открыто и для всякой измеримой |
вектор-функции |
x(t) |
множество {t <=T\x{t)<=:Fz(t)} |
измеримо. |
Тогда |
пересечение отображений Ft и F2 измеримо. |
|
— се |
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть {xi(t), |
x2(t), ...} |
мейство отображений из Г в Rn, аппроксимирующее многозначное отображение Ft. Мы покажем, что это же семейство аппроксимирует и Ft f) F2. По условию все множества
{/ е т,„(0^М0ПД>(0} =
={t е Т\ xm(t) е Ft (0) П [t ^ Т\ xm(t) е F2 (0}
измеримы. С другой стороны, поскольку множества F2(/) открыты, пересечения
плотны в Ft( / ) П Fz{t), откуда и следует предложение 5.
П р е д л о ж е н и е 6. Пусть F — нормальное много значное отображение из Т в Rn. Тогда для всякой
измеримой |
вектор-функции |
х ( - ) : Т —►R" |
множество |
{t е T\x(t) е |
F(^)} измеримо. |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим |
|
Fe(*)= {*€ = R "| *e= F (/), |
\х — а: (0 I < е), |
е > 0. |
Отображение Fe измеримо в силу предложения 5. По этому множества domFe измеримы (предложение 1), а
