Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 177

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

s 7.4. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

3 31

1) вектор-функция х*(-) была экстремалью функ­ ционала & ( х ( - ) ) , т. е. чтобы удовлетворялось уравне­ ние Эйлера-.

2) интегрант L был

регулярен

по £ для всех

(t, х)

из некоторой области

V с R X R".

содержащей

точки

V, **(0);

3) вдоль

x*(t)

выполнялось

усиленное условие

Якоби, т. е.

на полуинтервале {to, t\] не было точек,

со­

пряженных с точкой to.

не оговорили

при

З а м е ч а н и е .

Мы сознательно

формулировке теоремы требований гладкости интегранта и экстремали. Эти требования должны быть такими, чтобы можно было применять предложение 3. Было отмечено, что достаточно четырехкратной дифференци­ руемости, но эти условия гладкости не выглядят есте­ ственными и скорее всего излишни для получения ре­ зультата.

Укажем еще на одну форму последней теоремы и тем

самым свяжем этот параграф с рассмотрениями §

7.1.

Т е о р е м а

4'. Пусть вектор-функция x* (t) является

экстремалью

функционала ^ ( х ( - ) ) , задаваемого

ре­

гулярным интегрантом. Пусть, далее, на экстремали x*(t) выполнено усиленное условие Якоби. Тогда в точ­ ке х*(<) существует стандартная локальная К-функция задачи (1).

Д о к а з а т е л ь с т в о . В силу предложения 3 экстре­ маль х*(/) можно окружить центральным полем экстре­ малей. По этому центральному полю построим функ­ цию o(t,x), равную Д'-длине от центра нашего поля до точки (t,x). Положим

и

332

 

гл.

7. Д о с т а т о ч н ы е у с л о в и я

э к с т р е м у м а

В силу предложения 2 получаем:

 

 

 

 

 

да

L(t, х, U(t, x ) ) - ( p ( t ,

х)\ U(t, х)),

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

да (t,

х)

p{t, X ) = Ljc{t,

x,

U [t, A ') ) ,

 

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

U it,

x) — функция

наклона

поля. Отсюда следует

(в

силу

равенства

.У(**(•)) =

o(fi.*i) — о(^о,*о)), что:

З Ч * ( - ) ) - Ф ( * ( - ) ) =

 

 

 

 

 

 

 

*1

 

х, х)

 

dt

 

 

дх

 

 

=J(*.it,

 

 

 

дс) x)\dt =

 

 

 

 

 

 

да (t, х)

(

да it,

 

 

 

М

 

 

 

 

 

 

 

 

=

J

(L it,

X,

х) — L it,

х,

и it, х)) +

 

 

+

ix — и it,

х) I Lie it, х,

и Ц,

a)))) dt =

 

 

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= | # it, x,

U it, x), x) dt > 0.

Но это и означает, что ф ( * ( - ) )

есть /(-функция задачи

(1). Теорема 4'

доказана.

 

 

 

 

 

Теорема 4 следует из нее автоматически.

 

Следующий пример показывает, что усиленные усло­

вия Лежандра и Якоби вместе с условием Вейерштрасса, выполненным вдоль экстремали, все же не гаранти­ руют, что экстремаль доставляет минимум.

П р и м е р (Вольца).

( 1. 0)

9 i x i - ) ) — [ ( i 2 — 4*x3 + 2tx4) dt-> inf.

( 0 . 0)

Функция .*:.(•)== 0 является экстремалью. Параллель­ ное поле хЦ, к ) = к окружает ее, а интегрант на экстре­ мали имеет вид хг + 2/х4, т . е. является выпуклой функ­

цией

х. Из сказанного вытекает, что на экстремали

а%(-)

выполнены достаточные условия слабого мини­

мума. (Отметим, что для обоснования выполнимости

условия

Якоби

надо воспользоваться необходимостью

в предложении

3.) Кроме того, выполнено необходимое

условие

Вейерштрасса. Сильного минимума, однако,

 

§ 7.4. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

333

нет.

Чтобы убедиться

в

этом, надо

взять

ломаную

x(t, т, А,), обращающуюся

в нуль на

конце

отрезка

[О,

1] и имеющую один

излом в точке

т на высоте А.

Простой подсчет показывает, что при сколь угодно ма­ лом А можно взять т таким, что & (х (•, т, X)) < 0.

Существо дела здесь в том, что интегрант L регуля­ рен здесь только вдоль экстремали, и эта регулярность нарушается в сколь угодно малой окрестности ее.

7.4.5. Уравнение Гамильтона — Якоби. Вернемся к рассмотрениям п. 7.4.2. Чтобы не заострять внимания на несущественном, будем предполагать интегрант задачи

(1)бесконечно дифференцируемым, всюду регулярным

ирастущим на бесконечности по последнему аргументу быстрее первой степени |||:

L (t, х, |)/| 1 1—►°°, I %|—>°°.

 

При сделанных допущениях уравнение

 

p = L i ( t , x , u )

(13)

имеет единственное решение: по р единственным обра­ зом находится и и по и однозначно находится р. Обоз­ начим через 3>6{t,x,p) функцию (р\и) — L{t,x,u), где

и находится из (13). Написанное преобразование рас­ сматривалось нами в гл. 3 (см. сноску на стр. 183) и

было названо преобразованием Лежандра. При сделан­ ных допущениях преобразование Лежандра совпадает с подробно изученным в главах 3, 4 преобразованием Юнга — Фенхеля:

Ж (t, х, р) = шах ((р ||) — L (/, х, I)).

Одним из самых интересных явлений в классическом вариационном исчислении является возможность двой­ ного описания решений стоящих там задач. Оно свя­ зано с инфинитезимальным подходом, о котором много говорилось в этой книге. Основным аппаратом при этом подходе является аппарат обыкновенных дифферен­ циальных уравнений. Но возможен и другой путь — гло­ бальный, основанный на изучении семейств экстремалей. Аппаратом здесь служит теория уравнений с частными производными первого порядка — теория Гамильто­ на — Якоби. В вариационном исчислении оба подхода

334 ГЛ. 7. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА

сливаются в тесном единстве. Для того чтобы понять причину этого, вернемся к обсуждению понятия гильбер­

това поля.

 

 

 

поля функ­

Пусть

Г {t, х) — некоторое гильбертово

ционала

ЛУ(х(-))

в области V.

Если

обозначить

p ( t , x ) =

L*(t, x,t(t,

х ) ) , то

получится, что

Ж (t, х, р (/, *)) =

(р (/, х)

|Г (it, х))

— L (t,

а;, Г (t, х)).

Во вновь введенных обозначениях определение гильбер­ това поля будет звучать так: форма

6 = — Ж (t, х, р (t, л:)) dt + (р (t, х) |dx)

(14)

является

полным дифференциалом. Следовательно, с

гильбертовым полем можно связать функцию

 

 

(t.x)

S ( / , * ) =

Г 6 =

Г (p{t,x)\dx)— Ж (t, х, p{t, x))dt, (15)

 

V

«о. *o)

где интеграл берется по любой кривой, соединяющей точку (^о, л:0) с точкой (t, х). Эту функцию, следуя тра­ диции, идущей от классической механики, называют

действием *).

П р е д л о ж е н и е 4. Функция S{t,x), определенная соотношением (15), удовлетворяет следующему уравне­ нию в частных производных:

-ds

+ ж (t, х,

д8{д1; — ) = о.

(16)

Наоборот, всякому решению

S(t,x) последнего уравне­

ния соответствует гильбертово поле Г(^, х), по которому с точностью до аддитивной постоянной функция S(t,x) восстанавливается по формуле (15).

Уравнение (16) называется уравнением Гамильто­ на — Якоби.

Доказательство первой части предложения полу­ чается сразу из определений. Что же касается второй

*) Из теоремы 4' можно вывести, что функция S(t,x), опреде­ ленная соотношением (15), будет 5-функцией в смысле § 7,1,

 

§

7.4.

ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИИ

333

 

 

 

 

 

 

 

части,

 

л

/ I \

dS

х\

 

то, зная S (/,* ),

определим — ~

— и из соотно-

шения (13) найдем Г (/,* ):

 

 

 

a s (/, х)

р (t, х) = Lk (t, х, Г (t, х)).

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

(р| Г) =

L (t, х, Г)

+ Ж ((, х, р) и

 

 

dS (t, х)

 

 

 

a s (t, x) \

 

 

dt

 

 

 

dx )

 

 

 

 

 

 

=

L {t, x , T { t , x ) ) - ( V { t t x)\p{t, x)),

т. e. форма {{L (/, а:, Г (/, x)) — (Г (/, x) \p(t, л:))) dt + (p (t, x) |dx)

равна dS (t, x). Предложение 4 доказано.

Комментарий к гл. 7. Зародыш понятия 5-функции содержится уже в принципе Гюйгенса (Гюйгенс [1]): волновой фронт есть линия уровня S-функции, построенной по заданному пучку траекторий. Теория Гамильтона — Якоби и метод динамического программирова­ ния Веллмана в теории оптимального управления дают описание S-функций, соответствующих стандартным возмущениям. Развивая идеи Гильберта [3], Каратеодори [1] (см. также Янг [2]) ввел, по су­ ществу, понятие локальной /(-функции для задач классического ва­ риационного исчисления. Глобальные /(-функции рассматривал Кро­ тов [3]. Исчерпывающее изложение теории для выпуклых функций содержится в монографии Рокафеллара [14]. Оттуда мы заимство­ вали термин «возмущение». Весьма подробное исследование до­ статочных условий проведено в последних работах Левитина, Милю­ тина и Осмоловского [1]. Их концепции весьма близки к некоторым нашим конструкциям из § 7.2. Упомянем еще работы Янга [2] и Иоффе [4], [6], где для задач вариационного исчисления проводится совместное изучение возмущений и /(-функций.

Смотрите также файлы