Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 173

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 8.1. МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

341

так как множества F(t) замкнуты, то

{ f < = r |* ( 0 e = F ( / ) } = f | d o m Fe

е > О

сточностью до множества меры нуль.

8.1.3.Критерии измеримости.

Т е о р е м а 1 (теорема измеримого выбора).

Много­

значное отображение F из Т в R"

измеримо

в

том и

только том случае, если

существует

счетное

семейство

измеримых сечений отображения F, аппроксимирующее

это отображение.

Достаточность очевидна. До­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

кажем необходимость. Пусть многозначное отображение

F измеримо

и {yi(t),

Ы О . •••} — некоторое

семейство

измеримых отображений из Г в R™, аппроксимирующее

отображение F. Положим

 

 

 

 

 

Tm =

{t-<=T\ym(t)<=F(t)),

m =

1,2 ........

 

//, (t),

если

^ d o m / 7

или

t ^ T h

 

y 2 (t),

если

< е Г 2\Г[,

 

 

(0 =

 

 

 

 

 

ft-i

 

 

 

y k (t),

если

 

Tk \ (J То

 

 

 

 

 

 

 

i=i

 

 

 

 

 

если

 

00

 

 

 

Х т —1(0»

 

i - m

 

 

 

 

 

если

 

 

 

 

Ут (б)I

t е

Fm i

 

 

Xm V) =

У т +1(0>

если

t e

Tm+1\T m,

 

 

У т +k (0>

 

 

 

 

Л-!

 

 

если / е Г в + Л

 

 

 

 

 

 

 

 

i~o

 

Легко видеть, что

{*i(0>

*г(0>

•••} — искомое семей­

ство измеримых сечений отображения F.

 

З а м е ч а н и е . Если многозначное отображение F содержит хотя бы одно суммируемое или ограниченное измеримое сечение, то

342

ГЛ. 8. ИЗМЕРИМЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

можно указать аппроксимирующее его семейство, составленное из суммируемых или ограниченных измеримых сечений. Рассмотрим хотя бы случай, когда отображение содержит ограниченное измеримое се­ чение х0( t ) . Если семейство измеримых сечений {у\(t), yz{t), ■. ■} аппроксимирует отображение F, то вектор-функции

,,,

Г Ут ( 0 . есл и

I Ут ( 0 ] <

к,

x mk ( 0

— (

...

,

... .

,

 

I

Xq(t), если

|ym (t) |>

k,

измеримы, ограничены и, как легко видеть, образуют семейство, также аппроксимирующее отображение F.

Т е о р е м а

2. Для того чтобы многозначное отобра­

жение F из Т в R” было измеримым, необходимо, а в

случае, когда

оно замкнуто, и достаточно, чтобы для

всякого х е Rn

скалярная

функция

t->p(x, F(t)) =

— inf{ |jc— z \ \ z ^ F ( t ) }

была

измеримой.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

многозначное отображе­

ние F измеримо, то, выбрав, согласно теореме 1, ап­

проксимирующее семейство [xi (t), x2(t),

. . .}

измеримых

сечений отображения F, получим, что

 

 

 

 

 

р (х, F (<)) =

inf

\x — xm(t) |

 

 

 

 

 

1< ГП< oo

 

 

 

 

— измеримая функция.

что функции р (х ,F(t))

изме­

Предположим

теперь,

римы при

всяком

J teR *

и множества

F(t)

замкнуты.

Заметим,

что равенство

р(х, F (t)) =

оо

может

выпол­

няться лишь одновременно для всех х

и

только при

тех t, при которых F(t) =

0 .

Таким образом,

множество

domE измеримо, и без ограничения общности можно считать, что domF — Т, т. е. что F(t)=fi=-0 при всех /. Для всякого натурального m положим

Em(0 = = {* e R rt| p (x ,E (f))< 2 -m}.

Множества Fm(t) открыты при всех t, а множества

{t е= Т (х €= Fm(/)} = {* е= Т \р (х, F (*)) < 2“ “ }

измеримы при всех х е R" по условию. Поэтому (пред­ ложение 4) отображения Fm измеримы.

В силу теоремы 1 при каждом m можно выбрать се­ мейство {umi{t), um2(t), ...} измеримых сечений много­ значного отображения Fm, аппроксимирующее это ото­ бражение. Для всякой пары номеров m, k = 1, 2,

 

 

 

§ 8.1. МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

 

 

 

 

3 4 3

рассмотрим следующую последовательность измери­

мых вектор-функций,

которая строится индуктивно:

 

 

 

 

 

HmfcO(0 == Umk (О-

 

 

 

 

 

 

 

Предположим, что мы уже

 

выбрали

 

и тм Ц )

 

так,

что

U m k i ( t ) ^ F m + i ( t )

почти

всюду.

Тогда

в

 

качестве

Mmft(i+i)(0 возьмем произвольную измеримую вектор-

функцию такую, что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

___

 

 

 

 

 

 

Umk Ц+1) (О s

F m + l +1(О*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ U m k l ( t ) - U mk{l+X) { t ) \ < 2 - {m+ l).

 

 

 

 

(1)

Такая вектор-функция существует, поскольку

много­

значное отображение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t- + ф тк(f+n (*) =

U е

Fm+l+ 1 (/)

II *

—

umkl(0

I <

2 (_m + ,)}

измеримо в силу предложения 5 и почти все множества

ФтЛ(1+1)(0

непусты.

 

 

 

 

в (1)

следует,

 

что

 

при

Из второго

соотношения

 

 

i - * o о вектор-функции и ти { 1 )

сходятся почти всюду к

некоторой измеримой вектор-функции x mk ( t )

и

 

 

 

[ x mk (0 — umk(t )

|< 2_(,n_I)

почти везде.

 

 

(2)

Из первого соотношения в (1)

в свою очередь следует

включение

 

x m k ( t ) < = F ( t )

 

почти везде.

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

Осталось

проверить,

что

 

семейство

{x mh( t ),

т ,

 

k =

= 1, 2,

...}

аппроксимирует отображение F .

Для этого

отметим

следующий

простой

факт:

 

если

А

с

Rn —

замкнутое

множество,

 

множество {ытол|/тг,

k

=

l , 2

, . . . }

плотно

в

некоторой

окрестности

множества

А ,

Xтк <= А

при т ,

k =

1,2, .. .

и

IХтк — Чтк\<

2 -< т~ 1\ Т О

множество {хт*| т , k —

1,

2, ...}

плотно в Л. Действи­

тельно,

пусть х е

А

и

е >

0.

Выберем

т 0

 

так,

что

2/е < 2я**"1,

и

найдем

umh из

условия

 

т >

т 0,

,|дс — Mmft|<

е/2. Тогда

|х — xmft|< e .

Из

этого факта

в силу соотношений (2), (3) и

из определения вектор-

функций Umk(t)

следует требуемое.

 

 

 

 

 

 

 

 

8.1.4.

 

 

Интегранты.

Всякую функцию (со значениями

из расширенной области вещественных чисел), опреде­

ленную

на

ТX R”.

 

будем

называть и н т ег ра н т о м .

344

ГЛ. 8. ИЗМЕРИМЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

С каждым многозначным отображением F из Т в R” можно связать интегрант на Г X R":

f(t,x) = 6(x\F(t)).

Наоборот, каждому интегранту, определенному на Т X Rrt> можно поставить в соответствие многозначное отображение из Т в Rn+1:

F (/) = epi ft.

Поэтому каждому утверждению о многозначных ото­ бражениях должно соответствовать некоторое утверж­ дение об интегрантах.

Мы

назовем интегрант f(t,x), определенный на

Т X Rn.

измеримым (соответственно нормальным,

вы­

пуклым

и т. д.), если многозначное отображение

/-♦ e p i ft

измеримо (нормально, выпукло

и т. д.).

На­

пример,

если U cz Rft и отображения g :

Т X U

R™ и

h: Т X U —♦ R удовлетворяют условиям Каратеодори, то

f (/, х) — inf [h (t, и) 1и е U,

g (/, и) = х}

 

 

— измеримый интегрант. В самом деле, если {ti\,

и2,

...}

— счетное плотное подмножество

множества

U,

а

{oci, а2, .. •} — множество положительных рациональных чисел, то

%mi (/) == g (/> um), ctmi (t) = h (/, um) -f- кi, m, l = 1,2, •••,

измеримы и образуют аппроксимирующее семейство из­

меримых сечений отображения / —♦ epi ft-

 

интегрант

П р е д л о ж е н и е

 

7.

Для

 

того

чтобы

f ( t , x ) был измеримым, достаточно выполнения

одного

из следующих условий:

 

 

функции

/ —♦/(/, х)

из­

а)

f

— выпуклый

интегрант,

меримы

при

всяком

 

l e R ’1

и int(dom ft) ¥ = 0

почти

при всех /;

g*t*(х),

где g(t, х)

— измеримый интегрант;

б)

f (/, х) =

в)

f (/, х) =

ft (/, х) +

/2(/, х),

 

где ft

и f2— измеримые

интегранты и dom f2t =

Rn почти при

всех /.

 

из

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Утверждение

а)

следует

предложений 2 и 4, поскольку

из int(dom/t) Ф 0

сле­

дует int (epi ft) ф 0

(теорема

3

из §

3.5) и для

всяких

o e R ,

 

х <= R"

множество

{/ е

 

Т\( а , х ) е

int(epi/»)}

из­

Смотрите также файлы