Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 170

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

350 ГЛ. 8. ИЗМЕРИМЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

ной меры т. Наконец, векторная мера т называется

непрерывной, если все меры pi, . . . .

р„

непрерывны.

Т е о р е м а

2 (теорема А. А.

Ляпунова).

Пусть

рь

... ,

рп — конечные непрерывные

меры, определен­

ные

на

некоторой а-алгебре 2 подмножеств множе­

ства Т.

Тогда

множество значений

векторной

меры

пг — {рь

... , рп) выпукло и замкнуто.

 

 

на

Теорема А. А. Ляпунова в свою очередь опирается

теорему Крейна — Мильмана о представлении

ком­

пактных выпуклых множеств. Мы ограничимся здесь

напоминанием формулировки этой теоремы.

 

про­

Пусть

А — выпуклое

подмножество

линейного

странства X. Точка х е

А называется

крайней

точкой

множества

А, если из

равенства

х =

axi -f- (1 — а)х2,

0 < а <

1,

Xi, х2 б Д

следует,

что xt — х2 =

х,

или,

другими словами, если точка х не может быть середи­ ной отрезка, принадлежащего множеству А. Теорема Крейна — Мильмана утверждает, что компактное вы­ пуклое множество в отделимом локально выпуклом ли­ нейном топологическом пространстве совпадает с за­ мыканием выпуклой оболочки своих крайних точек.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы А. А. Л я п у н о в а .

Положим

р =

|pi |+

. . .

+ 1рп|, где, как обычно, |р* |=

= р+ + р

“ , а

р+

и

р^" — положительная и отрица­

тельная составляющие меры р,- (см. петит на стр. 28). Мера р конечна и положительна и все меры pi, . . . , рп абсолютно непрерывны относительно меры р (так как для всякого Д е И имеем (р,(А) |^ |р| ( А)). Обозначим через Xi(t) плотность меры р» относительно р. Рассмот­ рим в Loo{T, 2, р) множество

r = { a ( - ) e = L J 0 < a ( 0 < l , Vt e T ) .

Множество W выпукло, ограничено и слабо * замкнуто (ведь Loo сопряжено с Li), а значит, слабо* компактно. Рассмотрим оператор Р из L „ в Rn, ставящий в соответ­ ствие каждой функции a(' )eLcx, вектор

X

Т

■ 5 8.2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

3 61

Этот оператор линеен и непрерывен в слабой * тополо­ гии Loo (поскольку все функции Я,(-) принадлежат Li). Поэтому множество PW выпукло и замкнуто. Мы по­ кажем, что множество значений меры т совпадает с множеством PW. Поскольку множество значений меры

т , очевидно, содержится в

PW, в доказательстве

нуж­

дается лишь обратное включение.

 

Пусть х =

(х1,

. . . , х п) е

PW и

 

 

 

Г * =

{ а ( - ) е = ИПР а ( - ) = *}.

 

Имеем

Wx =

W П Р~1({х})

и, так как множество

Р ~ '(М )

выпукло и слабо*

замкнуто как прообраз

вы­

пуклого замкнутого множества при линейном и непре­ рывном отображении, множество Wx выпукло и слабо *

компактно. По теореме Крейна — Мильмана множество

Wx содержит крайнюю точку ао(-)- Мы покажем, что

cto(0 не может принимать значений, отличных

от нуля

и единицы на множестве положительной

меры.

Утверж­

дение теоремы А. А. Ляпунова следует

отсюда немед­

ленно, так как, если

А0 —

И, то

х1=

J h (t) d\i =

цг (Л0),

 

А„

 

т. е. х принадлежит множеству значений векторной меры т и (поскольку элемент х произволен) последнее содержит множество PW.

Итак, пусть а ( - ) — крайняя точка множества Wx. Предположим, что на множестве положительной меры a(t) принимает значения, отличные от нуля и единицы. Тогда для некоторого е > О мера множества

Д = ( / е Г ] е < « ( / К 1 — е}

положительна.

Рассмотрим пространство Li(A) и в нем подпро­ странство М, порожденное ограничениями функций Xi(-), i = 1, ... , п, на А. Подпространство М конечно­ мерно и, значит, замкнуто. В силу следствия 2 из тео­ ремы Хана — Банаха аннулятор подпространства М

352 ГЛ. 8. ИЗМЕРИМЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

содержит ненулевой элемент, т. е. существует опреде­

ленная на Д измеримая и ограниченная функция Р(0 такая, что

IIР( * ) По» = 1.

 

J М О Р (О Ф = о,

/ = I, . . . , « .

Положим

д

 

 

 

 

 

 

 

0,

если

t ф А,

 

Р(0 =

{

 

Р (0,

если

/ е А .

 

Тогда, очевидно,

0 ^

а (/) ±

ер (0 <

1

при t £= Т и

Р(а(-)± ер.(•))=■

 

 

.........

 

J (а(/) ± ер(/)) Л.!(/)

 

т

 

 

 

 

 

 

 

....

[

(а (0 ± ер (/)) К (0 dp

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

I

а (/) А,, (0 dp........ J а (/) А,я (/) du'j = ЛГ.

Но, поскольку

т

 

0, это

значит,

т

/

 

 

что а ( - )

не может

быть крайней точкой множества Wx, вопреки предполо­ жению. Теорема доказана.

8.2.3. Доказательство теоремы 1. Первая часть тео­

ремы следует из второй, так

как, если М О и М О —

два суммируемых сечения отображения F, то, применяя

вторую часть теоремы к

отображению t —►( М 0 ) Ц

U{хг(0 ). мы сразу получаем утверждение первой.

Всвою очередь вторая часть теоремы вытекает из

следующих двух предложений.

П р е д л о ж е н и е 1.

Пусть (Т, 2, р ) — пространство

с положительной мерой

(не обязательно непрерывной)

и F — нормальное многозначное отображение из Т в Rn.

Тогда

всякое измеримое

сечение

x(t)

отображения

/ —*•conv М О представимо в виде

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

х (0 = 2

“ i (0 Xi (t),

 

(1)

 

fe

t=i

 

 

 

где

n-f- 1, функции

ai(t)

неотрицательны и из-

 

 

k

 

t, a

Xi(t)

 

меримы,

2 а ; (0 = 1 при всех

— измеримые

 

 

i«=i

 

 

 

 

сечения отображения F,

 

 

 

§ 8.2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ

 

 

 

353

П р е д л о ж е н и е

2.

Утверждение теоремы 1

верно,

если

 

/ 4 0 =

М О } и . . .

U {*«(*)},

 

 

 

 

 

 

где

* i(/),

. . . , xm(t)— суммируемые

вектор-функции.

Допустим, что предложения 1

и 2 уже доказаны.

Для доказательства теоремы нужно проверить, что

 

 

J (conv F (0) dpcz j

F (t) dp,

 

 

(2)

 

 

г

 

 

т

 

 

 

 

поскольку

обратное

включение

очевидно.

Пусть х е

е J

(conv F (/)) dp. Тогда

существует суммируемое

сече­

ние

x(t) отображения conv/7 такое, что

J

х (/) dp = х.

В силу предложения

1

 

 

 

т

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

* ( 0 = 2 «/ (0 *i (0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i=l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

где функции а,- (t)

измеримы, 2 а Д 0 =

1

на Г, a *,(/) —

 

 

 

 

 

(=i

 

 

 

 

 

измеримые сечения отображения F. Рассмотрим много­

значное отображение Z7, (/) = (л:! (/)} U . . .

I) {**(/))•

Оче­

видно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| F, (/) afp. с :

J" F(t)dp\

J (conv F, ф) dp.

(3)

 

т

 

т

 

 

т

 

 

 

 

Поскольку |x| < > (/),

если (t, х) ^

gv F,

все xt (t) сумми­

руемы. Поэтому в силу предложения 2

 

 

 

 

 

J

(/) dp =

| (conv Ft (/)) dp.

 

 

 

 

 

т

 

 

т

J F(t)dp. Таким обра­

Отсюда и из (3) следует, что х е

зом, осталось доказать предложения 1

и 2.

1. Положим

Д о к а з а т е л ь с т в о

п р е д л о ж е н и я

 

{

 

 

 

 

 

 

л+1

 

 

 

. . . ,

ал+|) <= R't+1 |а, >

0,

Ц а< =

1

 

а = (а,,

»=1

12 А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров

Смотрите также файлы