Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 166

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 8.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

359

гралы J f(t, х) dp имеют смысл, то очевидно

J

f(f, х) dp.

J

тI т

Связь конволюционного интеграла и непрерывной суммы с интегральными функционалами совершенно прозрачна. Именно,

^ ft dp^j (х) = inf j 3^ (х (•)) |х (•) е

Lp

j x(t) dp = х

а непрерывная

сумма J ft dp

есть

просто

ограничение

интегрального

функционала

3rf(x(-))

на

множество

тождественно постоянных функций. Эти утверждения допускают следующую эквивалентную формулировку.

Рассмотрим пару линейных операторов Р: L" —►R'*

и

Q: Rn Ll>,

определенных

формулами

 

 

 

Рх( •) =

{ x (t) dp;

(Qx) (t) =

х.

 

 

 

т

 

 

 

 

Легко видеть, что операторы

Р и Q непрерывны (во

всех естественных топологиях пространств

L" и L£>),

а

простая выкладка

 

J

 

 

 

(г/|Рл:(-)) =

^/| x{t)J

dp.

(У \x{t))dp = { Q y , x ( •))

 

 

 

 

т

 

 

 

показывает, что эти операторы сопряжены. С помощью операторов Р и Q отмеченную выше связь между конволюционным интегралом и непрерывной суммой, с од­ ной стороны, и интегральными функционалами, с дру­ гой, можно описать следующим образом.

П р е д л о ж е н и е 3. Пусть f — интегрант на Т X

Rn.

Тогда

 

 

 

 

% f t dp = P2fu u

|

f,dp = y

„ Q .

 

г

т

 

 

 

Другими словами, конволюционный интеграл функ­

ций ft — это образ функции

i при

отображении

Р,

360

ГЛ. 8. ИЗМЕРИМЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

а

непрерывная

гумма функций ft — прообраз функции

3fu „о при отображении Q.

f — измеримый интегрант на

 

Т е о р е м а

2.

Пусть

Т X Rn. Тогда,

если

dom ^

ft dpj ф 0 , то

^ftdpj = { К dp.

Если же, кроме того, мера р непрерывна, то

выпуклая функция и

f ft dp. = ^ ft* dp.

тт

Д о к а з а т е л

ь с т в о .

Коль

скоро dom

f, dp) Ф

ф 0 , то в силу

предложения 3

и дот & ^ уф 0 . Тогда

в силу теоремы 3 из § 3.4 и теоремы 1

 

/ £ ft dpX = (РУ,, ,)* =

3V. соP* = Sfr. = c Q =

J ft dp.

\T

l

 

 

 

T

Если же мера p непрерывна, то по теореме 1 из § 8.2

множество j epi ft dp выпукло,

поэтому и \ft dp — вы-

т

г

пуклая функция. Наконец, согласно следствию 2 из теоремы Фенхеля — Моро

8.3.3. Функционал У,, „ . В заключение мы более по дробно изучим интегральные функционалы на простран­

стве Ll,(T, 2, р). Мы рассмотрим условия, обеспечи­ вающие их непрерывность в сильной топологии про­

странства Li,, и вычислим их субднфференциалы.

П р е д л о ж е н и е 4. Пусть f — нормальный выпук­ лый интегрант на Т X Rn, и в некоторой точке * o ( - ) e

 

§ 8.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

361

е Ll>

функционал

 

У j,oo

конечен.

Тогда

следующие

условия эквивалентны:

 

 

в точке a0( ’ ) отно­

а)

функционал 9 ft0o непрерывен

сительно нормированной топологии пространства L!L',

б)

существует е >

0 такое,

что при всяком j t e R 1,

|л:|<;е, функция f(t,x0(t) + x)

суммируема-,

 

в)

для некоторого е >

0 функция

 

 

 

г (/) = sup {/ (/,

Af0(0 + Jc)|JceR", \х\< е}

суммируема.

 

 

Из а), очевидно,

следуе+ б ).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если выполнено в),

то функция 9f, „

ограничена сверху

в шаре радиуса е с

центром в точке а0(*)

и конечна в

этой точке. Поэтому функция 9 1, «> непрерывна в этой

точке (теорема 1 из

§ 3.2), т. е. в)

влечет а). Таким

образом,

нам нужно

проверить,

что

из

б)

следует в).

Пусть

выполнено

условие б).

Если

е\,

.. ., еп — не­

который базис в Rn, то выпуклая оболочка векторов zfc/’ft, k — \, .. ., п, содержит шар достаточно малого радуса б > 0. По условию для некоторого а > 0 все функции t-+f(i,Xo(t)dz<xeh) суммируемы; поэтому сум­

мируема

и

функция qp(0 = m ax/(/, x0( t ) ± a e k).

Если

0 ■< е <С аб,

k

ft выпуклы,

то, поскольку все функции

f(t, x0(t) +

х) ^ ср(П для всякого вектора

r e R " ,

норма

которого не превосходит е. Следовательно,

 

 

f (t, xQф) < sup {/ (/, х0 (t) + х) ||х I < е} < ф (/).

Предложение доказано.

Перейдем к вычислению субдифференциалов функ­ ций 9 и ». Если х* — линейный непрерывный функционал

на Llo, то через

мы, как обычно, обозначаем

каноническую билинейную форму на (/.£,) X LZ,.

Гово­

рят, что функционал х е

абсолютно непрерывен,

если существует вектор-функция y ( - ) ^ L ? такая,

что

(а-*, х ( •)) —

J (у (t) |х (t)) dp.

 

т

ДЛЯ BCGX X( * ) fc Сама вектор-функция у (•) в этом случае называется плотностью функционала х\

362

ГЛ. 8.

ИЗМЕРИМЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

 

Т е о р е м а 3.

Пусть f — нормальный выпуклый инте-

грант на Г Х К " *

Предположим, что 3 ft00— собственная

функция,

непрерывная в некоторой точке х (•) е L i.

Тогда, если х0(•) е dornS^, ^ то всякий функционал х* е

e(L£,)\ принадлежащий субдифференциалу d&fioo{x0(‘ )), допускает представление

хЪ =

х\ + хЪ

где х\ <= N (х0 (■) |dom 3

а х* — абсолютно непре­

рывный функционал с плотностью у ( ' ) такой, что y(t)<s е dft (х0(/)) почти при каждом t.

Доказательство теоремы опирается на две вспомо­ гательные леммы.

Л е м м а 1. При выполнении условий теоремы мно­ жество

A = (x ' o - N( x0(-)\dom3rt, J ) П дЗГи . (х0(•))

слабо* компактно в (L")\

Л е м м а 2. Пусть выполнены условия теоремы и А —■ мноокество, определенное в формулировке леммы 1.

Тогда всякий функционал ? е Д

на котором линейная

функция 1(х*) = {х*, х ( - ) — *0( - ) )

достигает своего мак­

симума на множестве А, абсолютно непрерывен.

Предположим, что обе леммы уже доказаны. Поло­ жим х* = х', где х* — точка максимума функции 1(х*) на множестве А. Такая точка обязательно существует,

поскольку

множество А слабо *

компактно в силу лем­

мы 1,

а

функция 1(х*) слабо*

непрерывна

на (L i) .

Пусть,

далее, х-2 =

Х о— Х\.

Функционал Х\

абсолютно

непрерывен в силу леммы 2, а

х\ е N (л;0( •) |dom 3^>00)

по определению множества А.

Обозначим

через

у (t)

плотность функционала х\. Нам

нужно

проверить,

что

y ( t ) ^ d f t(xo(t)) почти всюду.

 

 

всякого измери­

Пусть

x ( - ) e d o m 3],<*,.

Тогда для

мого множества Д с~Т функция

 

 

 

 

 

 

 

[

x0(t),

если t<£A,

 

 

 

 

Х' '

~ \

х (t),

если t е А

 

 

Смотрите также файлы