Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 167

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

354 ГЛ. 8. ИЗМЕРИМЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

и рассмотрим отображение

g

произведения Rn+I X

X R" X ••• X R” в R", определенное следующим образом:

л+1раз

 

 

 

п+1

 

 

 

 

g ( a ,

х и . . . ,

x n+l) =

S

а (х { .

 

 

 

 

/=1

 

Пусть Fn+l (t) =

F (t) X

•••

X ^ (0 -

Тогда, очевидно,

n+ 1 раз

Fn+1— нормальное многозначное отображение из Т

в(Rn)n+1. Положим далее

Ф(/) = {а е= S, (*„ . . . . хп+1) <=

e=Fn+I(01 g(a, х и .

. xn+x) =

x(t)].

Поскольку х (/ )^ conv F(t) при всех t,

множества

Ф(/)

непусты. С другой стороны, в силу теоремы 3 из § 8.1 многозначное отображение Ф нормально. По теореме 1 существует измеримое сечение отображения Ф, т. е.

такие измеримые

a (t ) —

(он(/),

•••» a n+ i(0 ). *i(0> •••

Xn+i(t), что

Л+1

 

 

 

 

 

0,

S o ,

(0 = 1,

Xi(t)<=F(t),

2Oi (0 xt (t) = x ( t ) .

i= 1

Д о к а з а т е л ь с т в о

п р е д л о ж е н и я

2. Предло­

жение очевидно, если m =

1. Допустим, что

оно

верно

при m =

k — 1. Докажем

его при

m =

k,

F(t) =

= {*i (/)} U ... U (Xh(f)}- Рассмотрим многозначное ото­

бражение

t-+ G (t) = [х2(/)} U ... U

(t)}.

Поскольку

com F (t) =

conv((conv G(t)) U (хД /)}),

то,

рассуждая,

как при доказательстве предложения 1, можно пока­

зать, что всякое измеримое

сечение

х (0

отображения

conv/" представимо в виде

 

 

 

 

x(/) = a(0*i (0 +

0 — а (t))y (t),

(4)

где а (0 и у (t) измеримы, 0

а (t) 1

и у

(/) е

conv G (/).

Пусть х е J (conv F(t)) dy,. Тогда х = J" x{t)d\i, где x(t)

в силу (4) можно представить в виде

X (0 = У (0 + а (/) (#i (/) — у (/)).

§ 8.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

355

По теореме А. А. Ляпунова найдется такое измеримое множество А с Т, что

J а(/) (*, (0 — у (/)) с/ц=

J (х,(0 — у (0) rf|i,

Г

А

откуда

J y{t)dy.

х = | х 1(0<*Ц +

А

Т \ А

Но r/(/)e co n v G(t). По предположению индукции найдется такое измеримое сечение z(t) отображения G, что

J y{t)d\i=

Jz(t)d]i.

7 " \ А

Г \ Л

Но в этом случае

_

/

*'

если * е

Л-

и '

\

z(t),

если t е

Г \ А,

есть измеримое сечение отображения F и J u{t)d\i=x.

Предложение доказано.

§ 8.3. Интегральные функционалы

8.3.1.Определение и элементарные свойства. Пусть

снова (Г, 2, р) — пространство с

конечной

положитель­

ной

мерой и f — интегрант на

jT X R ” -

Пусть, далее,

x ( t )— произвольное отображение

из

Т в

Rn. Положим

^

( * ( • ) ) = inf JJ a ( t ) d p \ a ( - ) * = L u

a ( < ) > / ( * , x(t)) J.

Другими словами, 3fj(x{-)) есть нижняя грань интегра­ лов суммируемых действительных функций a(t) таких, что a .(t)^ f(t,x(t)) почти везде. При этом, как обычно, предполагается, что inf 0 = оо. Функционал 3ff(x(-)), определенный на множестве всех отображений из Г в

Rn, называется интегральным функционалом, порожден­ ным интегрантом /. Разумеется, если при данном x(t) функция f(t,x(t)) интегрируема, то

^ ( * ( • ) ) = / f(t, х(0М ц .

т

12*

356

ГЛ 8. ИЗМЕРИМЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ

 

Через 9 fi р мы будем

обозначать

ограничение

функцио­

нала 9 { на пространство

Lp = L"(T,

2, р)

(т. е. функ­

цию

на Lp, совпадающую

во

всех точках

пространства

Lp с 9 f).

 

1. Если

dom 9 р , рф 0 ,

то 9 t,P'>

П р е д л о ж е н и е

> — оо на Lnp> (где,

как обычно,

\/р + 1/р' =

1).

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По

неравенству

Юнга — Фен­

хеля

fit,

1

 

 

у )>( х \ у ),

 

 

 

 

x) + f ( t ,

 

 

 

откуда сразу следует требуемый результат.

 

 

 

П р е д л о ж е н и е

2.

Пусть

f — измеримый интег-

рант на Т X Rn и dom 9 f iP ф 0 . Положим

 

 

 

 

 

а (0 =

inf / (t,

х).

 

 

 

 

Тогда

 

 

X

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j а (/) dp. =

inf и , ( * ( - ) )

!*(•)€=

LJ}.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Функция

a(t)

измерима

в

силу

предложения

10

из § 8.1. С другой стороны, если

x ( - ) e d o m 9 j ,p, то

f ( t , x ( t ) ) ^ a ( t )

и, значит, a(t)

ин­

тегрируема. Очевидно,

 

 

 

 

 

 

 

 

J а (0 dp <

inf [9 , ( х ( - ) ) |*( - ) е =

Lp}.

 

Докажем обратное неравенство. Коль скоро Ja(/)efp<oo,

г

a (/) < оо почти всюду. Пусть

Г„ = 11еГ|а(0 = - Ч

Зададимся произвольными е > 0 и Л/ <; 0. В силу пред­ ложения 9 из § 8.1 существует измеримая вектор-функ­ ция Jt0(0 такая, что

f

N,

если t <= Т",

f(L хо(*))<

О (0 "Ь 2ц (Т) ’

если ^

Т„.

I

Пусть, с другой стороны, хх(•) е dom 9f, р, т. е. суще­ ствует суммируемая действительная функция аД /), та­

 

 

§ 8.3.

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

 

357

кая,

что

a i ( 0

^

f ( t , X i ( t ) )

почти везде.

Выберем

число

б >

0 столь

малым,

что

J ai (/) dp <

е/2,

лишь

только

р ( Д ) < 6 .

Выберем,

 

 

д

 

число М >

0

столь

боль­

наконец,

шим, что мера множества

{/ <= Т | |a:0(/)| > M }

мень­

ше б. Положим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

х0(/), если |*о(0 |<Af,

 

 

 

 

 

 

х х(0,

если |x0(t) |>

М.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда х (•) е

Lnp и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(*( •) Х - § - + ^ ц (7,0О) +

J

+

 

 

 

Если р (Гте) > 0 ,

то

в

силу

 

произвольности N отсюда

следует,

что

Ы 3 ^ ,р =

— оо.

Если

же

р(7’ов) =

0, то

(уже

из-за произвольности е)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

inf Sfft р <

J

a (t) dp.

 

 

 

 

Предложение доказано.

 

т

 

 

,.

.

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

1.

Пусть

f — измеримый интегрант на

Т Х R". Если дот&г,р ф

0 ,

 

то 3), „ =

 

Р

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

 

 

Положим

 

 

 

фу V, х) =

— (у (0 |x) + f (t, х).

 

 

Тогда фу — измеримый интегрант в силу предложения 7

из § 8.1. Кроме того,

d o m

,р= ботЗ ^ ,р^

0 . Соглас­

но

предложению 2

J

infФу(t,

x)dp = — inf 2fVy,p==

У Г,

р' (У (•)) = —

 

 

 

 

=

Г и р { у { - ) )

Отметим одно полезное

следствие из этой теоремы.

С л е д с т в и е .

Пусть

F — нормальное

выпуклое

многозначное отображение из Т в Rn. Тогда всякое мно­ жество

Qp= { x ( - ) ^ L p \ x ( t ) < = F ( t ) почти всюду}

358

ГЛ. 8.

ИЗМЕРИМЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ

ОТОБРАЖЕНИЯ

выпукло и

слабо

(в

случае

р =

оо — слабо *) замк­

нуто в Lp.

 

 

 

Положим f ( t, x )= 6( x \F( t )) .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Тогда

(теорема 4

из

§

8.1)

f*(t, у) = s(y\F(t)) — нор­

мальный выпуклый интегрант. Поскольку s(0|.F(/)) = О,

функция y(t)== 0 содержится в ботЗ^*, р>. Поэтому

 

■Гг, Р'(х (■)) =

$ f, р (*(•)) =

6(* (•) IQP).

Остается применить предложение 2 из § 3.3.

8.3.2.

Конволюционный интеграл и непрерывная сум

ма. Пусть f — интегрант на Т X Rn- Конволюционным интегралом интегранта f по мере р, или конволюцион­ ным интегралом функций ft, называется функция на R",

обозначаемая ^ f t dp и определенная равенством

 

т

 

 

^

ft efpj (х) =

inf j а е R |(а,

х) е J epi f, dp. j .

Если для всякой суммируемой

вектор-функции x(t)

функция

f(t,x(t))

измерима и интеграл J f(t, x(t))dp

(конечный или бесконечный) имеет смысл, то, как сле­ дует из определения, при всяком x g R" значение конволюционного интеграла функций ft совпадает со зна­ чением задачи

| f (t, х (t)) d[i -> inf;

J x (t) dp = x .

т

т

Функция на Rn, определенная равенством

h (x) =

 

= inf | J" a (i) dp |a ( •) e Lh a

(/, x) почти всюду |,

называется непрерывной суммой, или интегралом функ­ ций ft и обозначается J ft dp, или J f(t, •) dp. Если для

гг

всякого x e R " функции t -*f( t, х) измеримы и инте­

Смотрите также файлы