|
§ 8.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ |
363 |
тоже |
принадлежит множеству dom |
Поэтому |
(* ь JC1 ( - ) — * о ( * )) = j to ( О l*(0 — X0( t ) ) d \ i^ |
|
< 3ff (x,(•)) — Sff (*„A (•)) = J [/ (t, x (0) —f (t, |
x0(/))] dp |
|
A |
|
|
|
для всякого измеримого множества А с= Т. |
Отсюда сле |
дует, |
что |
|
|
|
|
to ( 0 1х (0 - х0(0) < f (t, х (0) - |
/ (/, |
*0 (0) |
|
почти при всех t. Поскольку f — измеримый интегрант и
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sfi>00 — собственная функция, |
мы можем выбрать аппро |
ксимирующее |
семейство |
{(a m(/), xm(t)) \m = 1, |
2, |
...} |
измеримых |
сечений |
|
многозначного |
отображения |
t —*epift |
так, |
что |
все |
хт(-) |
принадлежат |
а |
все |
а ,„(•) суммируемы |
(см. |
замечание после теоремы 1 |
в § |
8.1). |
Тогда по доказанному почти при каждом |
t |
|
|
(У (0 I хт(/) — х0(0) < |
ат (t) — / (/, |
х0(0) |
|
|
для |
всех |
т = 1 , 2, . . . |
Множества |
|
|
|
{(а, х) е R X R“ |Зт :а = ат (i), х = х:„(/)}
плотны в epi ft почти при всех t. Значит, на множестве полной меры в Т неравенство
(у (/)|* — *0 (0) < / (0 x ) — f (t, *о (0)
выполняется для любого * е dom ft и, |
следовательно, |
для любого х е R” , т. е. y(t)<^dft (x0(t)) |
почти при каж |
дом t. Теорема доказана. |
|
|
|
по усло |
Д о к а з а т е л ь с т в о |
л е м м ы 1. Поскольку |
вию функция ^ />00 непрерывна |
в некоторой точке *(•), |
найдутся |
такие |
е > |
0 , с > |
0 , |
что |
неравенство |
оо(*(-)+ *(•)) I ^ |
с |
выполняется, |
лишь |
только |
II*(•) IIсо ^ |
е. Поэтому, |
если II * (•) IL ^ |
е> х*е А, то |
<*', * ( • ) > < * , ( * ( • ) |
+ |
* ( • ) ) - |
|
|
|
|
— У\{хо( •))— <**. * ( •) — * о ( - ) > < с — y f (*o( •)) — |
|
|
|
|
— <**, |
*( •) — *o( - )) = |
Cl < |
т. е. ||**|| cje. Таким образом, А — ограниченное мно жество. Но оно и слабо * замкнуто, поскольку таковы
364 I Л. 8. ИЗМЕРИМЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
N(x0(-) |dom^/, оо) и d3fftOO(x0(-)) (см. п. |
4.2.1). Следо |
вательно, множество А как ограниченное |
и слабо * за |
мкнутое множество в сопряженном пространстве слабо * компактно. Лемма доказана.
Пусть х ( •) е L%. |
Для всякого |
измеримого |
множе |
ства А с~ Т положим |
|
|
х (t), |
если |
А, |
|
*д (t) = Хд |
|
|
|
|
|
О, |
если t ф. А. |
|
|
|
|
|
|
Если же х |
(= (/,£,)*, то через хд обозначим |
функционал, |
определенный формулой |
|
|
|
|
|
|
|
(х*д, х ( •)>==(х*,хд(-)>. |
|
|
|
Очевидно, |
|хЦ |< |х’ ||. |
Для |
доказательства |
леммы 2 |
нам понадобится следующий |
критерий |
абсолютной не |
прерывности функционалов на (l 'L) . |
|
|
|
П р е д л о ж е н и е |
5. |
Функционал |
х е |
(/.£,) абсо |
лютно непрерывен тогда и только тогда, |
когда ||хдй||—>0 |
для всякой |
последовательности {А*} |
измеримых |
подмно |
жеств множества Т, такой, что ц (А*.) -* 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Необходимость, очевидно, сле дует из определения. Докажем достаточность. Для вся
кого x g R" |
положим |
x { t ) = x , Ф(А, |
х) — (хд. х ( •)), |
При фиксированном х |
функция Ф(А, |
х) есть функция |
множеств, |
определенная на алгебре 2 |
измеримых под |
множеств множества Т, аддитивная, так как, очевидно,
если А[ П ^2 = |
0> то Ф (A, (J Д2, х) — Ф (Alt |
х) + Ф (А2, х), |
и абсолютно |
непрерывная относительно |
меры ц, по |
скольку I Ф(А, |
х) 1^11 Хд II•I X I И II Хд II—►0 при {А(А) - >0 |
по условию. По теореме Радона — Никодима |
|
|
Ф (А, х) = |
J ф(/, x)dp, |
|
|
|
д |
где |
функция |
х) суммируема на Т при всяком |
х е |
Rn. С другой стороны, |
по определению |
|
[ Ф (t, ах, + |
рх2) dp = |
J (аф (t, х,) + Рф (t, х2)) cfp, |
|
д |
|
д |
для всякого измеримого множества Д с Г . Поэтому для
|
§ |
8.3. |
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ |
ФУНКЦИОНАЛЫ |
|
365 |
каждых а , |
р, |
Х\, |
х2 равенство |
|
|
|
|
ср (/, |
а х , + р х 2) = |
а ф (t, л:,) + Р ф ( / , |
х2) |
(1 ) |
выполняется почти при всех t. Если теперь в\, |
еп— |
некоторый |
базис |
в Rn, Ук(1) = |
q>(t,eh), то |
из |
(1) сле |
дует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф (t, X) = |
2 |
Xkyk(t) |
|
|
|
|
|
|
k=l |
|
|
|
почти при всех t Д Л Я любого |
|
|
х ( - ) е |
Таким |
образом, для всякой вектор-функции |
епостоянной и равной х на некотором множестве
Ди равной нулю вне Д,
(х\ х ( - ) ) = (х*л, х (•)) = Ф (Д, х) = J (у (/) |х (0) dy. (2)
А
Но линейная оболочка множества таких вектор-функ
ций |
плотна |
в |
Llo. |
(В самом |
деле, |
если |
г ( ' ) е С |
т — натуральное число и хт( ■) |
|
|
такова, |
что xkm{t)= |
= Цт, |
если |
ilm ^ x k(t) ^.(i + |
l)/m, |
/ = |
0, ± 1.........to |
вектор-функция xm(t) |
принимает лишь конечное число |
значений, так как х (t) |
ограничена, и |хт( •) — *( •) IL ^ |
<1 1 /т .) |
Поэтому равенство |
(2) |
справедливо |
для |
всех |
х( •) е |
Llo. Предложение доказано. |
2. |
Пусть |
линейная |
Д о к а з а т е л ь с т в о |
л е м м ы |
функция / {х') = |
(х\ |
х ( - ) |
— х0( •)) достигает максимума |
на множестве |
А в точке х. |
Предположим, |
что |
функ |
ционал х' не является абсолютно |
непрерывным. |
Тогда |
для |
всякого |
натурального |
k |
найдется |
Д* сz Т такое, |
что ц,(Д*)5^1/Тг |
и |* д А| > б |
> 0 при всех k — \, 2, . . . |
Последовательность |
{^дА} ограничена в |
(/,£.)*, так как |
|х\к| |
II х ||, и значит, |
имеет в (/.£,)* |
слабо предельную |
точку х". Поскольку по условию Jс’ е |
^ |
1ОО(д0(')) , для |
всякой |
х (•) е |
dom 3^10в |
|
|
|
|
|
|
|
|
( х \ к, |
х ( •) — х 0(• )>= |
( х , |
х 0, т \&k (•) + x&k ( • ) —х 0(• ) ) < |
|
|
|
0, Г\Д* ( • ) + |
*Д* ( • )) - |
V , (х 0( .)) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
/ [ / ( * > |
x{t)) — f{t, x0(t))]dy,. |
366 |
ГЛ. 8. |
ИЗМЕРИМЫЕ МНОГОЗНАЧНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ |
Поэтому |
|
|
|
|
(**, * (•) — * 0 |
(■ )> < lim (х\ |
х (•) — х0 (•)) < 0 (3) |
|
|
|
А-»оо |
в |
для |
всех х( |
-) е |
б о т 3 ^ 100, т. е. |
х* е= ЛГ (х„ (•) |dom 3^, J .
С другой стороны,
(X — х\к, Х{ - ) — Х0{ - ) ) = (ХТ\Ак, х { - ) — Х0{ - ) ) ^
^У f (х0Ак( •) + ХТ\Ак( 1)) — 3 f(x0 ( * )) —►
-+3rf ( x ( ‘ ) ) - 3 r f (xо (- )),
'< Х - х \ x ( - ) - x Q( - ) ) ^ 3 f f ( x ( . ) ) - Z f (xо ( .) )
для всякого х ( •) е dom3^i00. Поэтому
хт— х*е=дЗГГ" О(х0( •))
и, следовательно, |
х* — / е А |
|
|
|
|
Наконец, поскольку функция Sff>aa Непрерывна по |
условию |
в некоторой |
точке |
х( - ), |
мы можем выбрать |
е > |
0 таким образом, чтобы функция |
|
|
|
|
г (t) = sup {/ it, |
x{t) + x) | x e R", |x|<e} |
была суммируемой |
(предложение 4). Тогда |
в силу (3) |
0 > |
sup {(х*, |
х (•) + |
х (•) — х0 (•)) |х (•) е |
L2o, |
|
|
|
l l * ( - ) I L < *}><**. |
х( - ) |
х0 (• )> + е5, |
и, |
значит, |
<Х*, х ( •) — х0(• ) > < — еб |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I (х* — х‘) = |
(х* — х*. х (•) - |
х0 (•)) > I (х*) + |
еб > / (х*), |
что |
противоречит |
выбору |
х*, поскольку х* — х’ е А |
Лемма доказана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
С помощью теоремы 3 можно получить описание суб |
дифференциалов |
непрерывных сумм. |
выпуклый ин- |
|
Т е о р е м а 4. |
Пусть f — нормальный |
тегрант |
на |
Г X Rn- |
Предположим, |
что |
функция |
| ftdy. — собственная и внутренность ее эффективного
§ 8.3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ |
367 |
множества непуста. Тогда для всякого ^ e R "
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д ^J ft |
|
(*) = J dft (x) dy + N ^x |dom J ft d p j. |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если x e |
int (dom J ft |
, |
|
то |
в силу |
предложения |
4 |
функция |
^ fioo |
непрерывна |
в |
точке |
Qx, |
где |
Q: Rn-> L l>— оператор, |
введенный |
в |
предыдущем пункте. В этом случае теорема 2 из § |
4.2 |
и предложение 3 |
позволяют утверждать, что |
|
|
|
|
|
<3(7 ft dv^(x)=*Q'd2fh„(Q x). |
|
|
|
|
Пусть |
х* е |
д&{чм (Qx). |
По |
теореме 3 х' = х’ + |
Х2 , |
где |
N (Qx |dom 5^, «J, |
a |
x\ — абсолютно |
непрерывный |
функционал с |
плотностью |
у (•) е |
L" такой, что у (/) е |
е dft(x) почти |
везде. |
Тогда |
|
|
|
|
|
Q,x] = P y ( - ) = l y{t)d\i.
т
С другой стороны, для всякого z е dom J ft dy.
О < {xl, Qx — Qz> = (<2**2 |x — z),
т. e.
|
|
Q’jc5 e |
N (* |dom J |
ft dy^. |
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
д ( J f, dpA (x) c : j |
dft {x)dy + |
N(x\ dom J ft |
. |
\T |
J |
T |
|
\ |
T |
J |
Проверка противоположного включения не представляет труда. Теорема доказана,
