Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 135

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 10.2. НЕРАВЕНСТВО ЮНГА

431

тогда не получится замкнутая кривая. Поэтому можно считать, что Ло = 2. Если (**(•)»</*('))— оптимальная траектория, то ввиду автономности задачи функция Н постоянна на траектории и, значит, в силу (10) получается, что

Р (0 = У , (0 + 2 «> — <7(0 = * . ( 0 + 26,

Н = 2и, (yt + а) — 2о„ (х, + Ь) =

= 2 sup [и (у, + а) — v(x, + 6)] = 2С0. (и, 1))бЛ

Итак, s((y' -fa, —х — Ь)\А) = С0, т. е. оптимальные траектории суть сдвиги линий уровня опорной функции множества А, повернутого на п/2. В частности, в клас­ сической изопериметрической задаче решением будут окружности, в задаче Чаплыгина, где скорость летатель­ ного аппарата равна единице, а скорость ветра (0, у),

V < 1, — эллипсы.

V x 2 + y2 — yv = c.

§10.2. Неравенство Юнга и теорема Хелли

10.2.1.Неравенство Юнга.

Пр е д л о ж е н и е 1. Для любого ограниченного зам­ кнутого множества S, расположенного в п-мерном

евклидовом пространстве Rn, имеет место следующее не­ равенство между диаметром D(S) множества S и радиу­ сом R{S) описанного шара:

D ( S ) > ] / r 2 ('1+— R(S).

(1)

Неравенство (1) переходит в равенство, если

S — пра­

вильный симплекс.

Неравенство (1) называется неравенством Юнга. Доказательство его равносильно решению такой экстре­

мальной проблемы:

 

 

R (S) —>sup;

D (5 )< 1 ,

(Г)

где

 

 

R ( S ) = inf sup \х у \,

D (S) = sup |х

у |.

xt=Rn » e S

х' y ^ s

 

Перед нами «супинфмаксная» задача сложной природы. В задаче об определении радиуса R(S)

432 ГЛ. 10. ПРИЛОЖ ЕНИЕ ТЕОРИИ К ЗАДАЧАМ

множества S требуется найти нижнюю грань выпуклой функции, которая является максимумом из выпуклых функций. Это обстоятельство дает возможность приме­ нить теорему об очистке. Выделим соответствующее утверждение в виде леммы.

Л е м м а 1. Для того чтобы шар В(х0,г) был описан­ ным шаром для множества S, состоящего более чем из одной точки, необходимо и достаточно, чтобы он был описанным шаром для некоторого симплекса с верши­ нами, расположенными на S.

Из леммы сразу вытекает, что неравенство Юнга

достаточно установить лишь для симплексов в

R".

Д о к а з а т е л ь с т в о л е ммы . Положим

 

/ (х) — тах| х — у |.

 

j/es

 

Ясно, что / — непрерывная, выпуклая функция,

расту­

щая на бесконечности. Следовательно, найдется такой вектор х0, что f (xQ) = inff(x) — R(S). В точке х0 выпол­ няется соотношение

0 е= <3/ (лг0),

(2)

являющееся необходимым и достаточным условием ми­ нимума.

 

Воспользуемся теперь теоремой об очистке. В соот­

ветствии с этой

теоремой

и в силу

(2) найдутся такие

векторы 2,- е R",

г/; е

S,

г, что

г ^ . п + 1 и положи­

тельные числа kit 1<

/ <

 

2/

|х0— iji I,

1 < / < г ,

|Xa—tji |=

/(лг0) = R(S),

 

£ *,,= = I,

i u < z ,= o .

 

 

t—l

 

<=i

 

В силу того, что 5 состоит более чем из одной точки,

f(x о) =

|*о — Hi I Ф 0 и,

значит, дх \х^— ij-t | состоит

из

единственного

элемента

(х0— y t)/\ х0 — г/, |. Отсюда

и

нз (3‘)

получается, что

 

 

 

 

(хоVi)

0 ФФ Xq— Xitfi,

(4)

 

1=1

\xa~yi\

i= 1

 

Векторы {(/,} являются вершинами симплекса в Rn. Если теперь начать снова решать задачу об описанном шаре,

I § 10.2. НЕРАВЕНСТВО ЮНГА 433

но для этого симплекса, то обнаружится, что та же точка лг0 явится центром описанного шара для него, ибо уравнение (4) в сочетании с (3) дает достаточное усло­ вие минимума. Этим завершается доказательство леммы.

В итоге получилась новая вариационная задача, а именно задача (Г ), где в качестве S выступают всевоз­ можные симплексы в R” . Эту последнюю задачу решим непосредственно, не применяя вариационных методов.

Пусть

2 — симплекс

диаметра

D (2)

с

вершинами

в точках

у\, ..., j/a+1 и

х0 — центр описанного вокруг

него шара так, что

 

 

 

 

 

А+1

К > 0,

 

 

 

 

xa= ^ j h y t ,

 

 

 

и

1*0 — yi 1= Я(2), г'= 1,

. . *

+

1.

 

D- (2) = max {I iji — У, ?, 1 < /, / < k + 1 ].

Далее

I У1 — У] ? = Uft — У\ \У1 — У])=\ */<— *оР + 1#/ — *оР —

2 ( y i — Xq |у I

— Xq) =

2R 2 (2) 2 (yi

*о |у j

х0).

Поэтому

 

 

 

 

 

 

 

2 h \У1 - V , f =

2R2( 2 ) — 2

 

2 h y t - x о \ у ,-х 0

= 2R* (2),

i=l

 

 

\г=1

/

 

 

и значит,

 

 

 

 

 

 

 

С другой стороны,

 

 

 

 

 

 

 

\2

k + l

 

 

 

 

2

Л,

- 2

<

А ?< 1 -1 /(й +

!) =

*/(* +

1).

ЛщЫ ’-I I

 

 

 

 

 

I, / = 1

/

i = 1

 

 

 

 

Таким образом, k + l

2R2(2 ) = 2 W t \y,— y , ? < t * i =i

43 4

ГЛ. 10.

ПРИЛОЖ ЕНИЕ ТЕОРИИ К ЗАДАЧАМ

 

k

1

tt 1

то

и, поскольку

k~— > — -— при

£ > ( 2 ) > ] / Д ( 2 ) .

Это неравенство справедливо для любых симплексов,

а значит, по доказанному

ранее, — для любых мно­

жеств S. Неравенство переходит в равенство, если 2 —

правильный симплекс. Предложение 1 доказано.

10.2.2. Теорема Хелли.

Пусть {4 v}v<==jv— некоторое

семейство выпуклых замкнутых подмножеств Rn. Пред­ положим, что среди множеств Av есть хотя бы одно ограниченное. Тогда, если пересечение любых п -f- 1 мно­

жеств

А у

непусто, то и пересечение всех множеств Av

также непусто.

 

Доказательство теоремы Хелли проведем вариацион­

ными методами. Положим

 

 

 

/ (х) — supp {х, AJ — sup inf |л: — у |.

 

 

 

v e J V

v e A f

Ясно,

что

f(x о) = 0 тогда

и только тогда, когда

 

( ]

А^,

следовательно,

надо показать, что нижняя

v e l V

грань функции f достигается и равна нулю. Предполо­ жим сначала, что N состоит из конечного числа элемен­

тов: N — {\........k}. Для определенности

пусть ограни­

ченным будет множество А\. Тогда

f(x) — конечная

функция, растущая на бесконечности, поскольку f(x) ^

^

р(х, Л])-> оо

при |л:|—*•оо. Значит, нижняя грань

функции f

достигается в некоторой точке Xq, где

 

 

 

 

0<=<3/(л:0).

(5)

с

Снова применим теорему об очистке. В соответствии

ней и с

(5)

найдутся

индексов vi, ....

vr,

г чисел Я; > 0,

1 ^ i ^ г, и г

векторов у и ... , уг

та­

ких, что

 

г/г<=др(л:0, AV{),

 

 

а)

 

 

 

б)

 

р (* о . AV{) =

/ (х0),

 

 

в)

 

2 я г= 1 ,

 

 

 

 

 

1=1

 

 

 

г)

 

2 ^t!/i =

0.

 

 

 

 

г=1

 

 

§ 10.3. ВОЗБУЖДЕНИЕ ОСЦИЛЛЯТОРА

435

Еще раз применим то же рассуждение, что провели в

конце доказательства

леммы 1.

Рассмотрим функцию

fi (х) =

max р (х, Лу ).

 

 

i<i<f

 

 

Из уравнений а) — г)

вытекает,

что 0

е <?/i (х0), и сле­

довательно, в точке х0

функция /у имеет минимум. С дру­

гой стороны, из

соотношения б) вытекает,

что

(х0)

=

= f(x0). Но по условию теоремы любые г ^

п -f-1 мно­

жеств

пересекаются, значит, / i ( x o ) =

0. В итоге

получи­

лось,

что

/( х0) =

0, а это означает, что все множества

Av, v — 1,

... , N, пересекаются.

 

 

 

и

Пусть

теперь

N — любое бесконечное множество

Av„

ограничено.

По

доказанному,

пересечение

AVa

с любым конечным семейством множеств Av непусто. Такие пересечения образуют, следовательно, центриро­ ванную систему. По известному свойству компактных множеств отсюда следует, что все множества A v пере­ секаются. Теорема Хелли полностью доказана.

§ 10.3. Оптимальное возбуждение осциллятора

Здесь решается одна задача из теории управления. Изложение во многих местах — конспективное. Чита­ телю надлежит восполнить пропущенные детали.

10.3.1. Задача об оптимальном параметрическом воз­ буждении осциллятора. Рассмотрим задачу;

 

 

tx-> inf;

 

 

 

х -f- (1

—- ей) х — 0,

 

*(0) =

*о,

х (0) =

Уо,

x2{t{) + x2(tl) =

\,

 

0 < и < 1 , 0 < е < 1.

 

Поясним

ее физическое содержание. Уравнение

x + s (/)* = 0

есть

уравнение

гармонического

осцилля­

тора с переменной жесткостью s(t). В нашем случае

жесткость s(0

может меняться в

пределах

1— е ^

В невозбужденном

состоянии,

когда

и = 0,

s = 1 и энергия

осциллятора

равна

(х2+

х2)/2. Таким

образом, задача состоит в отыскании такого закона воз­ буждения жесткости осциллятора, при котором (после

Смотрите также файлы