Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

436 ГЛ. 10. ПРИЛОЖ ЕНИЕ ТЕОРИИ К ЗАДАЧАМ

того как возбуждение будет снято) его энергия достигла бы заданной величины за минимальное время. Сейчас мы построим полный синтез задачи при любой величине О < е < 1 п затем проведем сравнение точного решения

Применим принцип максимума Понтрягнна в гамильто­ новой форме (теорема 1 § 2.4). Функция Н имеет вид

Н — ру — <7(1— е«) х

и, следовательно, сопряженная система такова:

Видно, что функции x(t) и <7(7) удовлетворяют одному и тому же уравнению.

Принцип максимума дает такое выражение для оп­

Найдем единственное решение написанных соотно­

0 < q {tt) х (*,) = — л: (t,) х (/,).

Таким образом, точка (x(/i), x (t,) ) лежит во второй или четвертой четвертях фазовой плоскости. Для опре­ деленности допустим, что вектор (at(/i) , х(^])) лежит в четвертой четверти:

х((,) = cos а,

х(tj) = sin а,

— л/2 < а < 0.

шают движение по кругам в фазовой плоскости, а в возбужденном состоянии — по эллипсам х2-{-х2/( 1— е) = = а, в обоих случаях движение совершается по часо­ вой стрелке.

Будем решать нашу задачу «с конца», более того,

оставим нашу систему в возбужденном состоянии еще на

ной осп. Допустим, что в момент времени Т вектор

о) (а) > 0 .) Теперь будем двигаться «в обратную сторону».

совершают движение по эллипсам. Первым вертикаль­

переключение, до которого жесткость равнялась единице и, следовательно, оба вектора совершали равномерное круговое движение. При этом вращении (но при движе­ нии в обратном направлении!) первым достигнет верти­ кальной оси вектор (х,х), и это будет момент предпо­ следнего переключения. В этот момент вектор (q, q) бу­ дет образовывать с горизонтальной осью угол ш(а) + я и т. д.

Мы приходим к тому, что при своем движении жест­ кость переключается тогда и только тогда, когда фазо­

Момент времени t2, когда происходит последнее пере­ ключение, определяется из условия q (/2) = 0, q (t2) > 0, т. е.

/ 1 — e(f2 — /,) + б = — я/2.

ЗАДАЧИ

Раздел открывается циклом старинных задач. Далее следуют

то, которое получается с помощью искусственных приемов. В за­ ключительной части раздела приведены стандартные задачи из ва­ риационного исчисления и оптимального управления. Стандартные задачи конечномерного анализа и линейного программирования мы не приводим. Их можно почерпнуть из многих задачников, см., на­ пример, Демидович [I] и Заславский [1]. Упомянем еще два сбор­ ника экстремальных задач из геометрии: Зетель [1] и Шклярский, Ченцов, Яглом [1].

Задачи группируются по определенным темам. В каждой теме есть задачи, снабженные решением; в конце раздела есть краткие указания к решениям некоторых задач. Решение большинства за­ дач этого раздела получается применением принципа Лагранжа.

1. К л а с с и ч е с к а я и з о п е р и м е т р и ч е с к а я з а д а ч а . Среди кривых на плоскости, имеющих заданную длину, найти ту, которая ограничивает наибольшую площадь.

2. На стороне ВС треугольника АВС найти точку Е так, чтобы параллелограмм ADEF, у которого точки D и F лежат соответ­ ственно на сторонах АВ и АС, имел наибольшую площадь (Евклид).

3. Среди шаровых сегментов, имеющих заданную площадь по­ верхности, найти сегмент наибольшего объема (Архимед).

4.Найти кратчайшее расстояние от заданной точки на плоско­ сти до заданного конического сечения (Аполлоний).

5.Среди всех «-угольников, имеющих заданный периметр, найти «-угольник наибольшей площади (Зенодор).

6.На данной прямой найти точку С так, чтобы сумма расстоя­

ний от С до точек А и В была минимальной (Герои).

7.Разделить число 8 на две части так, чтобы произведение их произведения на разность было минимальным (Тарталья).

8.Найти наклонную прямую, двигаясь по которой без трения под воздействием силы тяжести, материальная точка достигнет за­ данной линии за кратчайшее время (Галилей).

9.Среди цилиндров, вписанных в шар, найти цилиндр с макси­ мальным объемом (Кеплер).

11. Среди конусов, вписанных в шар, найти конус с максималь­ ной боковой поверхностью (Лопиталь).