Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

v (х, У) = У-

Задача о минимальной поверхности вращения может быть интерпретирована как задача плоской геометрической оптики с

V(X, у) = у~1-

Рассмотрим задачу оптимального управления автономным объ­

ектом:

сильным, на самом деле не является ограничительным. Подобно тому, как в теореме Боголюбова первоначаль­ ный интегрант можно заменять выпуклым по производ­ ной, так и в задачах на быстродействие можно, не изменяя значения задачи, «овыпуклять» множество воз­ можных скоростей, заменяя его выпуклой оболочкой.

10.1.2. Принцип Гюйгенса и уравнение Гамильтона — Якоби. Для задач геометрической оптики этот принцип можно записать в очень естественной и красивой форме.

точки х за время s, а точки х из точки х0— за время t, то точка z достижима из точки х0 по крайней мере за

отметить точку х, в которую свет придет за время /. Но тогда из х в z можно дойти за время, не большее s. Физическое содержание принципа Гюйгенса состоит в том, что он позволяет описывать процесс распростране­ ния света при помощи волнового фронта — границы множества х(х0) .

Пусть теперь

Т(х; х0) = inf [t > 0 \х <= Т ,(х0)}.

Функция Т(х,х0), называемая обычно оптической дли­ ной пути от точки Xq до х, является, очевидно, S-функ­ цией задачи (2), если в качестве возмущения рассмат­ ривать точки, в которые свет должен попадать в конце траектории. Покажем сейчас, как с помощью принципа Гюйгенса и простых (хотя и не абсолютно строгих) рассуждений можно получить уравнение Гамильтона — Якоби для задачи (2).

Допустим, что оптическая длина Т(х; х0) является дифференцируемой функцией переменного х. (Разу­ меется, так хорошо дело обстоит далеко не всегда. На­ пример, в задаче о наименьшей поверхности вращения функция Т не является всюду дифференцируемой.) Предположим далее, что любая точка х некоторой об­

За последующее время At свет, двигаясь по траектории х*(-,Хо), пройдет путь х*(Г*; х0) At = у* At (если пре­ небречь малыми более высокого порядка). При этом получается равенство

Т (х, + vt At; ха) = Т (х„; х,) + At = T t + At.

Но если бы в точке х* свет избрал другую скорость V, то по принципу Гюйгенса и по определению оптической длины получилось бы, что

или, если провести это рассуждение для произвольной точки х е U,

sup (Т'(х-,х0) |и) = 1.

Если вспомнить определение опорной функции множе­ ства А:

s (л И ) = sup (ц 11),

то станет ясно, что получилось следующее уравнение в частных производных для оптической длины:

10.1.3. Принцип максимума. Рассмотрим задачу опти­ мального быстродействия автономным объектом:

7’ —>inf; х = ср(х, и), u<=U, х(0) = х0, х{Т) = хи

и обозначим, как и раньше, V(х) = ср(х, U). Пусть (**(•), «*(• ))— оптимальный управляемый процесс в этой задаче. Тогда в силу принципа максимума най­ дется такое нетривиальное решение р(() сопряженного уравнения

—р <= дха (р (t), х, (0),

хе дра (р (t), х, (0).

Это естественная форма принципа максимума для задач геометрической оптики, записанных в форме (2).

10.1.4. Задачи.

З а д а ч а 1. Г е о д е з и ч е с к и е на п о л у п л о с к о ­

ст и Пу а н к а р е .

Всоответствии со сказанным ранее, нужно решить

такую задачу:

Интегрант здесь не зависит от х, и следовательно, урав­ нение Эйлера допускает интеграл энергии (см. § 2.2)

у V I у' = С,

т. е. приводится к такому дифференциальному уравне­ нию первого порядка:

Его интегрирование дает следующее выражение для экстремалей:

р2 + (х + С,)2 = С2.

Таким образом, экстремалями являются полуокружно­ сти с центром, лежащим на оси у — 0. Через любую пару точек (х0, у0) и {хх, у х), х0 фх\, проходит един­ ственная экстремаль, которую многими разными спосо­ бами можно включить в поле экстремалей, покрываю­ щее всю полуплоскость у > 0. Например, можно взять пучок полуокружностей, имеющих общую точку на оси у = 0. Интегрант в этой задаче, как и в любой изотроп­ ной задаче геометрической оптики, квазирегулярен. По­ этому из теоремы 3' § 7.4 следует, что найденная экст­ ремаль является решением поставленной задачи.