Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 136

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 10.1. ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

427

З а д а ч а 2. Б р а х и с т о х р о н а .

Не раз говорилось уже, что задача о брахистохроне допускает такую формализацию:

(*.. гл) ,--------- -

\

(*о. Уо)

Снова можно написать интеграл энергии

y j l ! L = d X. V а2 —у

Это уравнение легче всего проинтегрировать с помощью подстановки

у = a2sin2 (t/2).

При этом решение находится в параметрической форме

* =

-тг it — sin 0 + с,

У =

- у

(1 — cost).

Это — циклоиды.

Как

и в первой задаче, можно

легко показать, что через любые две точки верхней полуплоскости можно провести единственную циклоиду такого вида и при этом включить ее в центральное поле, покрывающее всю верхнюю полуплоскость. (Это поле может быть, например, образовано всеми гомотетиями данной циклоиды с центром в одной из точек ее пере­

сечения

с осью у — 0.) Так что и в этой задаче в силу

теоремы

3' § 7.4

экстремали являются решениями.

З а д а ч а 3.

М и н и м а л ь н а я п о в е р х н о с т ь

в р а щ е н и я .

 

Эта задача записывается так:

 

(хи г/,)

________

 

J

у V\ + у'2 dx-> in f; у ^ О .

 

(х„. у„)

 

Мы ее интерпретировали выше как задачу плоской гео­ метрической оптики со скоростью, обратно пропорцио­ нальной у. Если в предыдущих двух задачах скорость

428 ГЛ. 10. ПРИЛОЖ ЕНИЕ ТЕОРИИ К ЗАДАЧАМ

распространения света возрастала с высотой, то здесь она убывает. Поэтому в отличие от предыдущих двух задач траектории будут опускаться ниже низшей из двух заданных точек. Интеграл энергии уравнения Эйлера

y = c V l + y ' 2

имеет решение

У — с ch ( -7 + d) •

Продолжим исследование в симметричном случае, ког­

да х0 =

х—и у0 = у\. Тогда решения уравнения Эйлера

приобретают вид

y = c c b j .

Таким образом, экстремалями являются цепные линии. Легко понять, что их совокупность двукратно покрывает внутренность угла, обра­ зованного прямыми, про­ ходящими через начало координат и касатель­ ными к кривой у — due (рис. 13). Вне этого угла провести допустимую цеп­ ную линию не удается.

Если

точки (*о, Уо) и

(хи У\)

лежат на сторо­

нах угла, то через них проходит одна цепная ли­ ния, если внутри — то две, одна нз которых ка­ сается сторон угла, а дру­

гая — нет. Вторую нз этих экстремалей легко окружить полем, и следовательно, по теореме 3' § 7.4 она дает локальный минимум. На первой же экстремали не вы­ полнено условие Якоби, ибо близкие к ней экстремали пересекаются с ней в точках, близких к тем, в которых она касается сторон угла.

Вопрос об абсолютном экстремуме и о характере ре­ шения задачи в случае, когда граничные условия заданы вне угла, требует дополнительного исследования. Запи­

§ 10.1. ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

429

шем задачу 3 как вариационную задачу в параметриче

ской

форме

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

[

У V х 2+

у2 dx

ini;

 

 

о

 

 

 

 

 

х (0) = х0, у( 0) = Уо,

Х(1) =

х 1,

у{\) = у и

где

т — некоторый

параметр, а х и

у — производные

по т. Система уравнений Эйлера в этой задаче выгля­ дит так:

 

d

УУ

 

Y x 2 +

ft

=

о,

 

dx

 

 

V * 2 +

У2

 

 

 

 

 

 

d I

ух

= 0.

 

 

 

 

dx V V х 2 + у2

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим

интеграл

второго из

этих

уравнений

 

 

■

 

1/Х

С.

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

\ х 2+ у2

 

 

 

 

Если с ф 0,

то

у ф 0

и,

значит,

у >

0,

х ф 0 и, следо­

вательно, х имеет постоянный знак. Поэтому все сво­ дится к рассмотренному уже случаю. Предположим те­ перь, что с — 0. Тогда на всякой экстремали в каждой точке либо у = 0, либо х — 0. Легко видеть, что такая экстремаль состоит из трех участков, на первом из ко­

торых

х =

0, а у

меняется

от у0 до нуля, на

втором

у = 0 ,

а х

меняется от х0 до x h и на третьем х — 0 , а у

меняется от нуля до у0.

экстремали двух

н

Таким

образом,

имеются

видов:

цепные линии и ломаные экстремали, состоящие из двух вертикальных кусков и участка х0 sg х ^ х и у = 0. «Оптическая длина пути» по экстремалям первого вида, соединяющим точки (—х, у) и (х, у), равна, как не­

трудно подсчитать, у2Ф(х/у) =

с2(р(х/с), где

I

 

<p(g)==2jch 2xdx,

y = c c h ~ ,

о

 

а по экстремалям второго вида у2. Эти функции при­ нимают одинаковые значения на сторонах угла y ^ k 0\x\, целиком лежащего внутри угла, образован­ ного касательными к кривой у = chx, проходящими че­ рез начало координат.

430 ГЛ. 10. ПРИЛОЖ ЕНИЕ ТЕОРИИ К ЗАДАЧАМ

Функция

S (х, у) = min (у2Ф (х/у), у2)

оказывается 5-функцией нашей задачи. Мы видим, что она является ломаной, т. е. не непрерывно дифферен­ цируемой.

З а д а ч а 4.

О б о б щ е н н а я

и з о п е р и м е т р и-

ч е с к а я з а да ча .

 

 

Рассмотрим

такую задачу:

 

 

V2

[ {xv — yu)dt~* sup;

х =

и, ij = v,

x{Q) =

6

у(0) = у{Т),

 

(9)

x(T),

Т — фиксировано,

 

 

{и, t i ) e 4 c

R2.

 

Она несколько отличается от задач геометрической оптики, ибо в (9) — другой функционал, но вместе с тем имеет с ними много общего. Функционалом в (9) яв­ ляется площадь. Множество А можно интерпретировать как совокупность локальных скоростей материальной точки. Таким образом задача (9) состоит в отыскании такой замкнутой кривой, ограничивающей наибольшую

площадь, которую

материальная точка

может обойти

за заданное время.

Если А — единичный

круг, то полу­

чаем классическую

изопериметрическую

задачу. Если

А — сдвиг единичного крута на постоянную величину, то получается задача Чаплыгина о самолете, который дол­ жен за заданное время облететь наибольшую площадь при наличии ветра и т. д.

Задача (9) есть задача оптимального управления и ее можно решать с помощью принципа максимума в га­ мильтоновой форме (теорема 1 § 2.4). Составим функ­ цию Понтрягина

Н = ри + qv — (Я0/2) (xv — уи)

 

и сопряженную систему

 

р = X0v/2 = Х0у/2; — q = Я0ц/2 = Хах/2.

(10)

Если Хо = 0, то р и q постоянны и в силу принципа максимума скорости и и v были бы тоже постоянны, но

Смотрите также файлы