Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

450

ЗАДАЧИ

f'(t, р) = *“ / <

•

1/ Р+1/ р ' =1 .

<»«!-!»)

=

*(0) =

0,

х(Г) = £.

Отсюда получается уже известное нам в частном случае реше­

ние х, (<; Т,

|) = £ (//7’)1Р -," в)ЛР" ,).

этом

случае функции

Пусть

теперь р >

1,

а ^ Р — 1. В

l~*~ f*(t,p)

суммируемы,

лишь если

р =

0.

Поэтому

S* (р) (см.

§ 9.3) равна б(х|{0}).

Эффективное

множество

S(x)

совпадает со

х (t) = I

Случай Р =

1 требует отдельного рассмотрения.

I

t > 0.

т

565.. | У Т + А V l + x * dt -> inf; х (0) = 0,

х (Т) =

|.

0

т

7.

J

^ -----x^Jdt -> inf;

Т фиксировано,

х (0) =

0,

х (Т) =

|.

57.

о

3.

J

x Y \+ х2dt -> inf;

фиксированы,

x(tl) =

x., i =

0, 1.

58.

и

и

599..

J

ха |^1 + х2 dt -> inf;

t{ фиксированы,

x

=

x(, i =

0 ,1.

1

60.

J

**<«-»• inf; x (0) =

x (0) = 0, x (1) = 0, x ( l ) =

1.

0

I

ЗАДАЧИ

451

62.

J (х2+

х2) dt *

inf;

Т

фиксировано,

лг (0) = х (0) = О,

х {Т) = |i,

x(T) =

h-

задачу

к

стандартной

форме задачи

Р е ше н и е .

Приведем

Лагранжа:

т

J

( * *

+ xfj dt -> inf,

0

х%

хг>

х[ —- ^2’

Х[ (0) =0.

/ =

1, 2,

xi (T) =

%v

г = 1 . 2 ;

Г фиксировано.

Напишем уравнения Эйлера — Лагранжа этой задачи

(теорема 1 из

§ 2.3). Лагранжиан задачи имеет вид

1 = Х

+ *<) +

(*i

“

*2) + Р2 (*2 -

*з)-

Уравнения Эйлера— Лагранжа таковы:

° =

- - j r Lx, + Lxl ^

P

l - XOxl ==0’

о =

- 4 - ^

+ ^ ^ - ^ - Р | = ° ;

<•>

Q==- - J t Lx>JrLx

^

p2 =

Кх3-

Если Л0 =

О, то р\ =

р2 =

0,

чего не может быть.

Положив Я0 =

1

и р2— р, * , = х. из уравнений (•)

получаем, что р =

— *, х = дс3 =

р,

откуда

х1У +

* = о.

Общее решение этого уравнения, удовлетворяющее краевым усло­

виям на левом конце,

имеет вид

где

х (/,

С ь С 2) = C,qpi (/)

+

С 2ф2 (<),

t .

/

Ф, (/) =

sh

J^2

/ 2

<

<

,

t

cos

t

ф2 (0 = ch

sin —тгг

— sh

___

/ 2

y r

V 2 ‘

63.

J

(х2 — х2) dt -> inf;

Т

фиксировано,

дг (0) = jc (0) = О,

x ( T ) =

l .

х (Г ) =

12.

тому,

как это

было

проделано в

пре­

Р е ше н и е .

Аналогично

дыдущей

задаче,

приходим

к уравнению

х1 у — х = 0. Общее

ре­

Ci (sh Т — sin Т) +

С2 (ch Т — cos Т) =

|

Cj (ch Т — cos Т) +

с г (sh Т + sin Т) =

J

Этот определитель равен

2(cos Т ch Т— 1). Первый нуль

его

обо­

значим

t\.

Если t\ >

Т, то существует единственное

решение

си­

стемы

минимум;

если

ti <

Г,

то

значение

задачи

равно

—сю. Случай

ti = Т требует дополнительного исследования.

Г

64.

J

хг dt — ах'2 (Т) -» inf;

Т фиксировано, х (0 )= 0 .

о

1

65.

J

х2 dt + 4хг (0) -

5х2 (1) ->

inf.

о

1

66.

J

(х2 +

х2) dt — х2(1) - * inf;

х (0) = 1.

о

67.

Jг u2dt->inU

Т

фиксировано,

х== — x +

u,

x(,'(0) =

Xq,

о

x^l> (Т) = х\, I =

0, 1.

68.

СХ!2(Т)

Нh -jJГи2 dt -> inf; х =

— ах +

Ьи,

х (0) =

бэ. «уп

0

т

нь 4 -

и2 dt -> inf; х = — со2х +

и, х (0)= х 0-

0

70.

J

(х2 +

с2и2) dt-> inf;

Т

фиксировано,

x =

ax-J-«,

О

ЗАДАЧИ

453

т

71. Г(х2+ с2и2) dt -> inf; Т фиксировано,

х + ах + Ьх = и.

Р е ше н и е .

Применим

теорему 2

из §

2.3.

Составим

лагран­

жиан L =Кох2 +

К\хг. Уравнение Эйлера:

—

+ Ktx = 0.

Ясно,

что Ко Ф 0, ибо иначе х =

0. Положив

Ко =

— 1,

решаем уравнение

условиям, описываются так: x „ ( t ) = С sin nt, п = 1, 2,

. . . Наимень­

шее значение функционалу доставляет функция х\ (t) =

" j / " s i n t.

т

т

75.

J

x2 dt -> inf;

J x dt =

I,

x (0) =

jc(1.) = 0.

о

о

l

1

76.

J

|i|“ d /-» in f;

J |jc|p df = l. * (0) =

* (1) =

0. a, P >0.

о

о

l

77.

J x2 d /-> in f;

x(tk) = ift.

k — \........n;

tk фиксированы.

78.

J

x dt-> inf;

J

x2 dt =

1,

T

фиксировано,

*(<|(0) = 0»

1

t

i

l