Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Комментарий к разделу «Задачи». В начале этого раздела при­ ведено несколько старинных задач, поставленных и решенных до создания общих методов. Первые упоминания о классической изопериметрической задаче (см. задачу 1) относятся к V в. до н. э. За­ дачи на максимум и минимум встречаются у трех величайших мате­ матиков древности — Евклида (задача 2), Архимеда (задача 3) и Аполлония (задача 4). Более подробно об экстремальных задачах

удревних см. у Цейтена [1].

Вдальнейшем ряд важных экстремальных задач был решен Га­ лилеем, Кеплером, Ферма, Гюйгенсом. Основы дифференциального исчисления и вместе с ними первые принципы решения экстремаль­ ных задач были заложены Ферма, Лейбницем, Ньютоном. Основные

факты о конечномерных экстремальных задачах и вариационном исчислении были установлены в 17— 19 вв. И. Бернулли, Эйлером, Лагранжем, Лежандром, Гамильтоном, Якоби и Вейерштрассом. По­ дробнее об этом см. у Цейтена [1], [2] и Рыбникова [1].

Указания к задачам. Все задачи этого раздела могут быть решены при помощи принципа Лагранжа, подробно обсуждавшегося в книге. В общей форме он был сформулирован во введении (стр. 16), а за­ тем доказан для ряда важных случаев. Перечислим их: а) гладкие задачи (стр. 74), б) выпуклые задачи (стр. 77), в) задача Лагранжа классического вариационного исчисления (стр. 135), г) изопериметрическая задача (стр. 142), д) задача оптимального управления без фазовых ограничений (стр. 145— 147), е) задача оптимального управ­ ления с фазовыми ограничениями (стр. 245, 246). Далее, как пра­ вило, указывается, к какому случаю можно отнести рассматриваемую задачу.

Задача 1 решена в § 10.1. Задачи 2— 12 решаются с помощью простейших средств анализа. Задача 15 решена в § 10.1. Уравнение для геодезических (задача 16) можно вывести из необходимого усло­ вия для задач с фазовыми ограничениями (стр. 143). Задача 25 — задача с подвижными концами, нужно использовать условия транс­ версальности (случай д)). Задача 26 (сопоставьте ее с задачей 38) относится к случаю г). Задачи 27, 28 можно решить как задачи на быстродействие с фазовыми ограничениями (случай е)), при этом

полезно учесть метод решения задачи 4 в § 10.1. Задачи 32—35 ре­ шаются подобно задаче 13 (случай б)). Задача 36 относится к слу­ чаю е).

Задачи 41—59 — простейшие задачи вариационного исчисления. Интегранты задач 48—53 не квазирегулярны. Нижние грани в зада­ чах 48—52 при помощи теоремы Боголюбова находятся без вычислений, ибо овыпукления интегрантов приводят к тривиальным функционалам. В задаче 49 при 1 ф 0 вторая вариация на экстре­ мали строго положительна, но сильного минимума нет. Интересный пример Больца (задача 53) разбирается во многих книгах, например у Ахиезера [1]. В задаче 54 не выполнено усиленное условие Ле­ жандра, однако экстремаль доставляет абсолютный минимум в за­ даче. Задачи 60—67, 70, 71 относятся к случаю в). В задачах 68 и 69 принцип Лагранжа верен, хотя для этого случая в книге он не обоснован. Задачи 82—89 — с подвижными концами (случай д)). За­ дачи 90— 100 относятся к случаю д), задачи 101— 106 — к случаю е). Решения последних семи задач первоначально были включены в гл. 10. Решения задач 107, 109, 112 и 113 можно получить как ме­ тодами двойственности, так и непосредственно при помощи прин­ ципа максимума. К задаче 112 сводится задача Улама о совмещении отрезков. Задача 110 решена Боргом [1], задача 111— А. М. Ляпуно­ вым [1]. Решение задачи 113 см. Розов [1].

ЛИТЕРАТУРА

Ав е р б у х В. И., С м о л я н о в О. Г.

1.Теория дифференцирования в линейных топологических про­

странствах, УМН 22, 6 (1967), 201—260.

Ад а м а р (Hadamard J.)

1.Calcul des variations, Hermann, Paris, 1910.

1.Дискретное динамическое программирование. Введение в опти­

мизацию многошаговых процессов, М., «Мир», 1969.

Ар к и н В. И.

1.О бесконечномерном аналоге задачи невыпуклого программи­ рования, Кибернетика 2 (1967), 87—93.

А р к и н В. И., Л е в и н В. Л.

1.Выпуклость значений векторных интегралов, теоремы измери­ мого выбора и вариационные задачи, УМН 27, 3 (1972), 21—77.

Ас п л у н д (Asplund Е.)

1.Topics in the theory of convex functions in «Theory and Appli­ cations of Monotone Operators», Tipografia «Oderisi», Gubbio, Italy, 1969.

A y манн (Aumann R. J.)

1. Integrals of set valued functions, J. Math. Anal. Appl. 12 (1965),

1— 12.

2.Measurable utility and the measurable choise theorem, Hebrew Univ, Jerusalem, 1967.

А х и е з е р H. И.

1.Лекции по вариационному исчислению, M., Гостехиздат, 1955.

А х и е з е р Н. И., К р е й н М. Г.

1. О некоторых вопросах теории моментов, Харьков, ГОНТИ, 1938.

Б е к к е н б а х Е., В е л л м а н Р.

1.Неравенства, М., «Мир», 1965.

Б е л л м а н Р.

1.Динамическое программирование, М., ИЛ, 1960.

1.О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени. Собрание сочинений, т. 1, Изд-во АН СССР, 1952, 11-105.

2.О теореме В. А. Маркова, Собрание сочинений, т. 2, Изд-во АН

СССР, 1954, 281—287.

Би т т н е р (Bittner L.)

1.New conditions for validity of the Lagrange multiplier rule 1, Mathematische Nachrichten 48 (1971), 353—370.

Б л а г о д а т с к и х В. И.

1.Достаточное условие оптимальности в задаче нелинейного опти­ мального быстродействия, Автореферат кандидатской диссерта­ ции, 1973.

Бл и с с (Bliss G. А.)

Бл э к у э л л (Blackwell D.)

1.The range of certain convex integrals, Proc. Amer. Math. Soc. 2

(1951), 390—395.

Б о г о л ю б о в H. H.

1.Sur quelques methodes nouvelles in the calculus des variations, Ann. Math. Рига Appl., ser. 4, 7 (1930), 249—271.

Б о л т я н с к и й В. Г.

1.Принцип максимума в теории оптимальных процессов, ДАН

СССР 119, 6 (1958), 1070— 1073.

2.Достаточные условия оптимальности и обоснование метода ди­ намического программирования, Изв. АН СССР, сер матем. 28, 3 (1968), 481—514.

3.Метод локальных сечений в теории оптимальных процессов.

Дифференциальные уравнения 4, 12 (1968), 2166—2183.

4 Математические методы оптимального управления, М., «Наука», 1969.

5. Оптимальное управление дискретными системами, М., «Наука», 1973.

Б о л т я н с к и й В. Г., Г а м к р е л и д з е Р. В., П о н т р я г и н Л.С. 1. К теории оптимальных процессов, ДАН СССР 110, 1 (1956),

7-10.

2.Теория оптимальных процессов. 1. Принцип максимума, Изв, АН

СССР, сер. матем. 24, 1 (1960), 3—42.

1.Teorie der konvexen Korper, Springer, Berlin, 1934.

Бо р г (Borg Q.)

1.Ober die Stabilitat gewisser Klassen von linearen Differentialgleichungen, Arch matem. astr. fysik, Bd 31A, 41 (1944), 460—482.

Б р а й с о н A., Xo Ю- ши.

1.Топологические векторные пространства, M., ИЛ, 1959.

Бу т к о в с к и й А . Г.

1.Теория оптимального управления системами с распределенными

параметрами., М., «Наука», 1965.

3.Sur une generalization de la notion des solutions d’une equation au contingent, Bull. As. Polon. Sci., ser. math., astr., phis. 10 (1962), 11— 15.

4.On an optimal control problem, Proc. Conf. on Differential Equa­

tions and their Applications, Prague, 1962, 229—247.

5.Sur les systemes de commande non lineaires dont le contredomaine de commande n’est pas forcement convexe, Bull. Ac. Po­ lon. Sci., ser. math., astr., phys. 10 (1962), 17—21.

Ва л а д ь е (Valadier M,)

1.Sur l’integration d’ensembles convexes compacts en dimension

infinie, C. R. Acad. Sci. Paris 266 (1968), 14— 16.

2. Sous-differentiels d’une borne superieure et d’une somme continue de fonctions convexes. C. R. Acad. Sci. Paris 268 (1969), 39—42.

3. Integration de convexes fermes. notamment d’epigraphes, Rev.

F.Inf. Resh. Oper. 4 (1970), 57—73.

4.Multi-applications mesurables a valeures de convexes compactes,

J. Math. Pur. Appl. 50 (1971), 265—297.

5.Complements sur les equations differentielles multivoques, Travaux du Sem. d’An. Conv., Univ. Montpellier 1, 1971.

6.Un theoreme d’inf-compacite, Travaux du Sem. d’Anal. Convexe, v. 1, Univ. du Languedoc, 1971.

Ва л е н т а й н (Valentine F. A.)

1.Convex Sets. McGraw-Hill, New York, 1964.

В ан Слайк , В е т с (Van Slyke R. M., Wets R. J. B.)

I.A duality theory for abstract mathematical programme with applications to optimal control theory, J. Math. Anal. Appl. 22 (1968), 679-706.