Файл: Иоффе, А. Д. Теория экстремальных задач [учеб. пособие].pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 15.10.2024

Просмотров: 124

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

454

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧИ

 

 

 

 

 

81•

J (*2 +

У2) dt -> inf;

xy — i j x =

1,

jc(0) = 0,

(/(0) = 1,

I =

0

 

 

cos 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 1, у (I) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

82.

J x2 dt -> inf;

х (0) =

0, Tx2(T) =

1.

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

83.

J

V\ + x 2 dt -> inf;

x (0) = 0,

T2x (T) =

1.

 

84.

 

f l + x 2 dt -> inf;

x (0) =

1.

 

 

 

 

 

8 5 .

I

—— dt -> inf;

x (0) =

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

86.

J

x2 dt -> inf;

x (0)

=

0, x ( l )

=

l.

 

 

 

 

87.

I

1 ‘ ^

2

+

X | X 2j r

f f - > i n f ;

Xi(0)=|i,

x2 (0) =

|2, X] (1) =

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x2(1) =0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

+

^ )

 

 

 

 

 

 

 

 

88.

J ( x i + x i

 

 

Xi (0) =

h,

x2 (0) =

!

 

 

 

+

XjX2 1dt -> inf;

89.

Г -> inf;

x =

и,

j u 2dt = l,

x(0) =

gi,

x (0) — g2, x (Г) =

= х(Г)=0.

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з а д а ч а

 

на

 

б ы с т р о д е й с т в и е .

90.

П р о с т е й ш а я

 

 

Т -> inf;

 

х = «,

|и|<1.

х (0) =

Ii,

 

х(0) = |2.

х (Г) =

и=* (?) —о.

91. Т inf;

х = — x + u, |и|<11, x(0) = gi, х (0) = £»,

х(Т) = х (Г) — 0.

6*

1

92• J |х |-> inf; х > - Л, Л > 0 . х (0 )= 0 , х (1 )= | .

93. J х2 dt -> sup; х = u, | «| < 1, х (0) = 0.

З А Д А Ч И

455

Р е ш е н и е . Применим принцип максимума Понтрягина в лагранжевой форме (теорема 1' из § 2.4). Лагранжиан задачи имеет вид

L== — ~ x 2 + p(x — u).

Уравнение Эйлера

р =

—Яо*,

условие трансверсальности

р( 1 ) = 0 .

Значит, Яо Ф 0, ибо

иначе

все

множители Лагранжа Я0 и р были

бы нулями.

Положив

Яо =

1,

из усло­

 

 

вия минимума функции L по и получаем

 

 

и = sign р.

В

итоге

приходим

к урав­

 

 

нению:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р + sign р = О,

 

 

 

 

р (0) = — х (0)

- 0,

 

 

 

 

 

 

 

р(1)=0.

 

 

 

 

Решениями

этого

уравнения

являются

 

 

кусочно-параболические функции, имею­

 

 

щие одинаковые по модулю экстремумы

 

 

и разрыв первой производной в тех точ­

 

 

ках, где сами они обращаются в нуль.

 

 

Граничные

условия

выделяют

счетное

 

 

множество таких функций. Первые две

 

 

функции p0 (t)

и

p i ( t )

и соответствую­

 

 

щие им экстремали Xo{t), X\(t)

изобра­

 

 

жены на рис. 14. Экстремали

x f (t) —

 

 

это ломаные с изломами в нулях соответствующих функций

P i(t) .

Максимальное значение интеграл достигает на функции x o (t).B

силу

того, что решение

задачи существует (из компактности

множества

допустимых функций), Xo(t) доставляет абсолютный максимум в поставленной задаче.

1

94. J хг dt -> sup; |х \^ 1, х (0) = х (0) = х (1) = х (1) = 0.

о

1

95.

j* ^

^

“

+

|и |j dt -> inf; х = и, х (1) = |.

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е .

Применим принципа максимума Понтрягина в

лагранжевой

форме

(теорема

У

из § 2.4). Лагранжиан

задачи

имеет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L =

Я

э | * X ' "

+

I « I ) + Р ( * — «)•

 

Если Яо == 0,

то из условия минимальности по и получалось бы, что

р е= 0,

т. е.

все

множители Лагранжа были бы нулями.

Значит,

Яо Ф 0.

Положим

Яо =

1. Получаем уравнение Эйлера —р +

х = 0,

условие трансверсальности р (0 )=

0 и выражение для оптимального

456

ЗАДАЧИ

 

 

управления

0

при

|р |^ 1,

|

и = {

р — 1

при

р ^

1,

(

р + 1

при

р

— 1,

которое следует из условия минимальности L по и. В силу того, что р(0) = 0, при малых t оптимальное управление равно нулю, значит, для этих t решение x(t) является константой, a p(t) — линейной функцией, т. е.

x(t) = x(t, Tl) = T|, p(t) = p(t,x\) = x\t.

Когда р станет равным по модулю единице, из уравнений Эйлера получится, что х = й = р = х, т. е.

х = т) ch (/ — 1 /|г] |).

Из граничного условия определится единственная допустимая экс­ тремаль, которая и даст абсолютный минимум в задаче.

1

96. | xdt->ini) | х|< 1, х(0) = х ( 1 ) = 0 .

о

 

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

97.

J

(и2+

х2) (It ~» inf; Т фиксировано, х =

и, |и |^

1, х (0)=|.

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

98.

J (и2-

х2) dt

inf; Т фиксировано, х =

и . |и |<1, х (0) = 0 .

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

99.

Г -*■ inf;

х =

и,

|и|<1.

х (0) = |i,

*(0) = £2.

х(0) = |'3,

х(Т) = х(Т) = х(Т) = 0.

и,

 

 

 

 

 

 

100.

Т -* inf; jE=

х +

|« К

1, х (0) = gi,

х (0) =

%2. х (Т) =■

= х(П =

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

101. J

xd f-> su p ; Ц К

1. х < А,

х(0) =

х ( 1 ) = 0 .

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

102.

|

х d/->inf; [ х К

1. х >

— А, х (0) =

х (0)= х (1 )= х (1)=0-

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•103.

J

х d /-> inf; |х | <

1,х >

— А,х (0) =

х (1) = 0.

 

104.

о

 

 

и, |и |< 1, х > -

1, х(0) =

х (0) =

0, х(Г) = I 1,

Г -* inf; х =

*(П = 6*.

Р е ше н и е . Применим принцип максимума

Понтрягина для

задач с фазовыми ограничениями (теорема 1 из

§ 5.2). Функция

ЗАДАЧИ

457

Понтрягина здесь такова:

 

Н == ptxl + р2и — Я,0 (х1= х, х — х2,х =

и).

Фазовое ограничение после приведения его к стандартной форме имеет вид — (х2+ 1 ) ^ 0 , поэтому сопряженное уравнение записы­ вается следующим образом:

Pi (t) = const = pi (Г),

T

т

Рг (t) = Pi (Т) + J Pi (т) dx +

J dfi.

t

t

Из условия максимума функции Н по и получается, что оптималь­

ное

управление имеет

такой

вид: и =

sign рг.

Обозначим через А

подмножество отрезка

[0, Г],

состоящее

из тех

точек t, где x2{t) =

=

— 1. Положим

 

 

 

 

т

«Ю-J

t

Тогда m(t) — неотрицательная и невозрастающая функция, постоян­ ная на каждом интервале, где траектория не выходит на фазовое

ограничение. При этом lim m (i)= m(0). Суммируя сказанное, полу- t о

чим выражение для рг\

Рг (0 = + Р + m (t).

Если а < 0, то рг строго убывает и может менять знак не более одного раза. Получается семейство экстремалей, зависящих от од­ ного параметра т — точки переключения оптимального управления u(t). Разберем теперь случай, когда а > 0. Покажем, что тогда

траектория

x2(t)

может

выйти

на

фазовое

ограничение лишь

однажды. Действительно, пусть

(тц тг) — интервал

между

двумя

последовательными

выходами

на

фазовую траекторию:

x(ti) =

= х ( т г ) = — 1, * ( / ) > — •. < е

(Tt, тг).

Функция

m(t)

постоянна на

(Ti, Т2), значит,

рг (0 — линейная

возрастающая функция. Она не

может иметь нуля в точке т между T i

и

тг, ибо иначе на (т», т»)

управление

было

бы

равно — 1, и нельзя

было

бы

удовлетворить

фазовому ограничению. Значит, на

(т«,

тг)

функция рг > 0 и управ­

ление и s=

1. Но тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tj

 

 

 

 

 

 

 

х2(тг) =

х2(т,) +

| и dx = — 1 +

(т2 — Ti) > — 1,

 

Т|

в

противоречие с предположением. Итак, возможны два случая:

а)

когда

на траектории имеется не более чем одно переключение,

при этом

траектория либо не выходит на фазовое ограничение, либо

458

ЗАДАЧИ

выходит на него лишь в один момент (рис. 15, а), и случай б) когда оптимальное управление и сначала равно — 1, затем и = 0 и дви­ жение совершается по фазовому ограничению, и на последнем

Рис. 15.

участке и = +1 (рис. 15,6, направление движения указано стрел­ ками). Без труда показывается, что существует единственная траек­ тория, удовлетворяющая перечисленным условиям и соединяющая нужные точки (см. рис. 15, а, б).

1

105. J (х2+ х2) dt -» inf; х(0) = 1, х~^> А.

о

т

106. J (х2 — х2) dt -» inf; Т фиксировано, |х | х (0) = дг (Г)=0.

о

г

 

107.

J

 

dt -»

inf;

Т фиксировано, д с ^ (0 )= 0 , х*‘ >(7') =

£г,

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

V 'is

I ^

Г1 ’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

108.

J

(1 +

е |и |) dt -* inf; х = и,

|и | < 1, х (0) =

gi,

х (0) =

|2

*( Г) = *(Г ) =

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

109.

j

xdt-> inf;

I x[n) |< 1, x(l) (0) = *(i) (1) = 0,

0 <

i < n -

1.

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

110.

J

| и \p dt -> inf;

x + ux = 0,

x (0) = x (1) =

0,

x (0 ) =

l,

1 <

p <

о

 

 

 

 

 

 

 

 

00.

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы