Файл: Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf

чтобы установить характер рассеяния на идеальном кристалле, необходимо получить представление электронной плотности иде­ ального кристалла в виде набора статических плоских волн. Для этого в соответствии с рецептом, предложенным выше, надо разло­ жить распределение электронной плотности (2.9) в трехмерный ряд Фурье. В результате получим:

где N — число элементарных ячеек в кристалле. Каждый член суммы (2.10) представляет собой плоскую волну с волновым век­ тором 2яН и амплитудой NF (Н). Суммирование в (2.10) произво­ дится по всем значениям векторов Н. Коэффициенты разложения в ряд Фурье F (Н) определяются выражением (2.7):

V

Они носят название структурных амплитуд. Допустимые значе­ ния вектора Н определяются из условия периодичности (2.9): из выражения (2.10) следует, что функция гаеі(г) является перио­ дической функцией координат, если для любых векторов Н и ар выполняется тождество

ехр {і2яН (г + ар)} = ехр (і2яНг) (при р = 1,2,3). (2.12)

Тождество (2.12) имеет место, если, в свою очередь, выполня­

Из выражения (2.14) следует, что допустимые значения вектора Н описывают пространственную решетку Бравэ с основными век­

торами трансляции ах, а2, а3. Эта решетка носит название об­ ратной решетки.

Принимая во внимание предыдущие рассуждения о рассеянии излучения на совокупности плоских волн электронной плотности, можно утверждать, что идеальные кристаллы рассеивают рентге­ новское излучение, если дифракционный вектор q равен одному из векторов 2лН, где Н, есть вектор обратной решетки.

18

Это утверждение составляет содержание так называемых ус­ ловий Лауэ:

— необходимых условий дифракции на идеальных кристаллах. При этом из выражения (2.4) следует, что амплитуда рассеяния равна амплитуде статической плоской волны электронной плот­

Условиям Лауэ можно придать простую геометрическую ин­ терпретацию с помощью построения Эвальда, изображенного на

Если пренебречь термическими флюктуациями состава, свя­ занными с перераспределением атомов компонентов по узлам кристаллической решетки, и тепловыми колебаниями атомов, то неупорядоченный раствор можно рассматривать как идеальный кристалл, рассеивающая способность элементарных ячеек кото­ рого одинакова и равна средней рассеивающей способности одной элементарной ячейки. В этом приближении рассеяние неупоря­ доченным кристаллом будет представлять собой совокупность рефлексов, взаимное расположение которых описывается узлами обратной решетки, отвечающими прямой решетке неупорядочен­ ного раствора. Рефлексы, полученные от неупорядоченного рас­

19

йительйо равномерйо распределенный во всем обратном прост­ ранстве.

В § 1 уже отмечалось, что упорядочение изменяет трансляцион­ ную симметрию кристалла: основные векторы трансляции упоря­ доченного раствора в целое число раз превышают основные век­ торы трансляции неупорядоченного раствора. Из определений ос­ новных векторов трансляций обратной решетки (2.15) следует, что увеличение основных векторов трансляции прямой решетки в це­ лое число раз должно в соответствующее целое число раз умень­ шить основные трансляции обратной решетки. Таким образом, упорядочение приводит к образованию более мелкомасштабной обратной решетки, которая оказывается вписанной в обратную решетку неупорядоченного раствора. При этом все узлы обратной

*' w структурными векторами обрат­

касающиеся дифракции рентгеновских лучей на упорядоченных

ческой решетки. Это приводит к менее жестким условиям рассея­ ния, чем в случае рентгеновских лучей: условия Лауэ (2.16) одно­ временно выполняются для целой сетки узлов обратной решетки, лежащих в сечении обратной решетки, проходящем через нулевой

20

узел перпендикулярно й йайравлепию падающего йучка (рис. 5). Последнее справедливо в меру пренебрежения кривизной сферы Эвальда, которое может быть справедливым в силу малости дли­ ны волны рассеянных электронов. Таким образом, дифракцион­ ная картина, приведенная на рис. 4, представляет собой сечение ГЦК обратной решетки Та плоскостью (001).

Для того чтобы найти количественные соотношения между рас­ пределениями атомов в твердом растворе и интенсивностью рас­ сеяния рентгеновских лучей, необходимо, прежде всего, записать общее выражение для электронной плотности. Сделаем обычное предположение о том, что распределение электронов представляет

Рис. 5. Формирование отражений при дифракции электронов (случай малой длины волны излучения и, следовательно, малой кривизны сферы Эвальда). Р центр сферы Эвальда, О — нулевой узел обратной решетки, О' — реф­ лекс на электронограмме, отвечающий нулевому узлу обратной решетки. Рефлексы на электронограмме являются «изображениями» узлов обратной

решетки в плоскости, перпендикулярной к падающему пучку.

собой сумму распределений, относящихся к изолированным ато­ мам, из которых составлен кристалл. Такое распределение можно представить в виде

где г„ — координата га-го атома, са (гп) есть случайная величина, равная единице, если в точке гп находится атом сорта а, и нулю

в противоположном случае, р“і (г) — распределение электронной плотности в изолированном атоме сорта а, центр которого нахо­ дится в точке t = 0; суммирование в (2.18) производится повеем положениям и сортам атомов. Применяя преобразование Фурье

21

есть атомный фактор рассеяния компонента а. В неидеальном кристалле атомы испытывают смещения из узлов идеальной крис­ таллической решетки. Поэтому координата тг-го атома может быть представлена в виде:

где г0п — вектор, определяющий положение узла идеальной крис­ таллической решетки, u (r0„) — смещение га-го атома из узла решетки г07г. Подставляя (2.21) в (2.19) и опуская нижние индек­ сы в обозначении вектора г0п, получим:

есть эффективная рассеивающая способность узла г решетки в отсутствие смещений. Суммирование в (2.22) производится по всем узлам решетки г, в (2.24) — по всем сортам атомов. Обе функции ф(г) и ф0 (г) — случайные величины, зависящие от кон­ кретных конфигураций, образуемых атомами. Если решетка крис­ талла есть решетка Бравэ, то выражение (2.22) можно переписать в форме

(q = 2яН + к). При переходе от (2.22) к (2.25) мы воспользо­ вались свойством

следующим из определения вектора обратной решетки (2.14), (2.15) и условия, что вектор г есть вектор трансляции.

22