Файл: Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf

Подставляя (2.27) в выражение (2.22), можно переписать послед­ нее в форме

Первое слагаемое в ^2.29) есть амплитуда рассеяния идеальным кристаллом, рассеивающая способность всех узлов которого по­ стоянна и равна ф. Амплитуда рассеяния идеальным кристаллом, как было показано выше, отлична от нуля в узлах обратной ре­ шетки при q = 2яН. Наоборот, второе слагаемое, как это следу­ ет из (2.27) и (2.28), равно нулю в узлах обратной решетки (при к = 0) и отлично от нуля во всей остальной области обратного пространства. Поэтому выражение (2.8) для полной интенсивно­ сти рассеяния можно представить в виде двух слагаемых:

Первое слагаемое в (2.30) описывает интенсивность структурных отражений и имеет вид

Второе слагаемое описывает распределение интенсивности во всем обратном пространстве и имеет вид

h (q) = 2 Аф(г) е_і<*г = 2 Аф(г)Аф(г') е-ік(г-г'). (2.32)

Г ,Г '

Производя в (2.32) усреднение по всем атомным конфигурациям, получим:

г г'

где символ <. . .> означает процедуру усреднения по всем атом­ ным конфигурациям. Выражение (2.33) можно также представить в более компактной форме:

23

есть фурье-компонента флюктуации рассеивающей способности узлов Аср(г).

Для случая смещений, малых по сравнению с параметром кристаллической решетки, экспонента в (2.23) может быть разло­ жена в ряд по смещениям и (г) вплоть до членов первого порядка

Как смещения и (г), так и флюктуации рассеивающей способ­ ности Афо (г) в конечном счете определяются флюктуациями одной и той же величины — плотности частиц. Поэтому первое и вто­ рое слагаемые в (2.39) имеют первый порядок малости, а третье слагаемое — второй порядок малости по флюктуациям плотности частиц. Последнее обстоятельство позволяет в случае малых флюк­ туаций плотности частиц пренебречь третьим слагаемым в (2.39) по сравнению с первым и вторым. Тогда выражение (2.39) упро­ щается и приобретает форму

24

Ёыражение (2.44) еще более упрощаетсй, если прйнйть тай называемое суперпозиционное приближение. Согласно суперпо­ зиционному приближению, смещение, создаваемое всеми при­ месными атомами, равно сумме смещений, создаваемых каждым из них:

Z

где и0а(г)— смещение атома, находящегося в узле г, вызванное примесным атомом сорта а, находящимся в узле г = 0 (а = 2, . . .

. . ., z; индекс а = 1 относится к атомам растворителя). Так как

(это следует из симметрии решетки Бравэ относительно преобра­ зования инверсии), то выражение (2.48) может быть переписано в форме

u (г) = 2 2 « о а ( г - г ' ) (са (г) — са) = 2 2 ^ , (г — г') Аса(г'). (2.50)

Подставляя (2.50) в (2.43), получим:

Используя выражение (2.51) в (2.44), получим:

Для твердого раствора замещения всегда справедливо тождество

a —1

означающее, что в любом узле г непременно находится атом од­ ного из z сортов. Из тождества (2.54) следует, что

2 2

Используя (2.55) в выражении (2.53), перепишем его в более

25

простой форме;

h (q) = < I2 [ - if (qvoa (k)) + (/« - h)] ea(k) f y . (2.56)

a=2

Формула (2.56) приобретает особенно простой вид для бинар­ ного раствора замещения А — В:

где атомы сорта А — это атомы растворителя, атомы сорта В — атомы примеси. Так как множитель J — if (qv0ct) + /в — /л |2 не является случайной величиной, а потому не подлежит усред­ нению, то выражение (2.57) может быть представлено в еще более простой форме:

Формула (2.58), впервые полученная М. А. Кривоглазом [19], чрезвычайно полезна при анализе диффузного рассеяния рентге­ новских лучей монокристаллами неупорядоченных твердых раст­ воров, в которых, наряду с эффектами ближнего порядка, при­ сутствуют эффекты статических искажений (размерные эффекты).

С точностью до флюктуационных эффектов (эффектов ближнего порядка) среднее от произведения <|?в (к) |2> можно представить в виде произведения средних:

Равенство (2.59) справедливо с точностью до макроскопически малых величин, имеющих порядок 1 /N. Из (2.46) и (2.45) следует, что

сорта В в узле г, то, используя (2.59) в (2.58), можно переписать последнее в виде

есть эффективный атомный фактор. В неупорядоченном твердом растворе по определению пв (г) = св , и, следовательно, интенсив­ ность (2.61) тождественно равна нулю.

Таким образом, интенсивность рассеяния рентгеновских лу­ чей в области обратного пространства, не включающей в себя узлы обратной решетки неупорядоченного сплава, определяется только флюктуациями состава. Напротив, в упорядоченном сплаве, для

2в

нуля. Как было показано выше, она не равна нулю в точках об­ ратного пространства, отвечающих положениям сверхструктур­ ных отражений. Последнее оказывается возможным только в том случае, если функция пв(г) представляет собой суперпозицию плоских статических концентрационных волн, волновыми векто­ рами которой служат умноженные на 2я сверхструктурные век­ торы обратной решетки, расположенные в первой зоне Бриллюэнах) неупорядоченного раствора:

где kj — сверхструктурные волновые векторы, отвечающие поло­ жениям сверхструктурных рефлексов, находящихся в первой зо­ не Бриллюэна; индекс / нумерует сверхструктурные волновые векторы в первой зоне Бриллюэна.

Для того чтобы убедиться в справедливости этого утверждения,

подставим (2.63) в (2.61):

ность / х (q) отлична от нуля в положениях всех сверхструктурных

Амплитуда сверхструктурного отражения, следовательно, равна

х) Первая зона Бриллюэна представляет собой многогранник мини­ мального объема, образованный плоскостями, проведенными через середины отрезков, соединяющих узлы обратной решетки с нулевым узлом, перпен­ дикулярно к ним. Таким образом, первая зона Бриллюэна по определению является минимальной центросимметричной частью обратного простран­ ства, которая, будучи периодически продолженной, полностью заполняет все обратное пространство.

27