Файл: Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf

§22. Энергия внутренних напряжений упруго анизотропного кристалла,

содержащего когерентные включения новой фазы [155, 156]

Как уже отмечалось в предыдущем параграфе, фазовый пере­ ход, протекающий в состоянии, свободном от внутренних напря­ жений, приводит к изменению объема и формы превратившегося кристалла. Это изменение обусловлено перестройкой кристалли­ ческой решетки и может быть выражено через тензор однородной

деформации е?,-. Деформацию е?;- удобно отсчитывать от состояния, в котором находится матрица в отсутствие внутренних напряже­

ний. Таким образом, тензор описывает перестройку кристал­ лической решетки матрицы в кристаллическую решетку выделе­ ния, происходящую в отсутствие внутренних напряжений. В даль­ нейшем мы будем называть его тензором структурной деформации. Различия в объеме и форме области кристалла до и после превра­ щения являются причиной появления внутренних напряжений.

Пусть в бесконечной среде — матрице — находится ѵ типов включений, каждое из которых характеризуется своей деформа­

цией вij = Eij(p) (р = 1, 2, ..., ѵ), т. е. своей кристаллической ре­ шеткой, отличной от решетки матрицы. Примем, что постоянные упругости всех фаз, образующих гетерогенное состояние, одина­ ковы. В этом случае упругая энергия единицы объема может быть записана в форме

V

будет установлен ниже); Ѳр (г) — функция формы включений, рав­ ная единице, если радиус-вектор г попадает в какое-либо включе­ ние сорта р, и равная нулю в противоположном случае; индексы г, /, I, т описывают декартовы координаты. По дважды повторяю­ щимся индексам подразумевается суммирование. Деформация

&U, так же как и деформация (р), отсчитывается от состояния, отвечающего недеформированной (и ненапряженной) матрице. Выражение (22.1) представляет собой два первых неисчезающих члена разложения плотности свободной энергии по деформации еі;-. Коэффициенты этого разложения

V

2 °Ь (р) (г) и хШт р=і

являются константами материала. Разложение (22.1) ограничено квадратичными членами по деформации, так как учет членов бо­ лее высокого порядка вывел бы нас за рамки линейной теории'упругости. Присутствие в выражении (22.1) члена, линейного по де­ формации, отражает тот факт, что рассматриваемая система про­

200

странственно неоднородна и поэтому ее ненапряженное состояние не является недеформированным *). Иными словами, при Оц(г) = = О, где Oij(r) — тензор напряжения, егДг) ^ 0. Деформация Eij(r) в последнем случае оказывается равной одному из следую­

щих значений: е®,(1), Sy (2), ..., Sij(p), ..., e?j(v) в зависимости от того, во включение какого типа попадает вектор г. Если система является пространственно однородной и ненапряженное состоя­ ние является одновременно недеформированным состоянием, то

Пусть радиус-вектор г находится внутри включения p-то типа, находящегося в ненапряженном состоянии. Тогда, по определе­ нию, имеем следующие соотношения:

Ой (г) = 0, 'Ѳр(г) = 1, eitn = e?m(jtj).

Подставляя эти значения в (22.2), получим уравнение

(?) — nfilm[p)i (22.3)

которое, по существу, представляет собой определение постоян­ ных материала о%(р), фигурирующих в выражении (22.1), через

характеристики кристаллогеометрии фазового превращения ец (р). Воспользовавшись выражением (22.2), можно представить уравне-

Выражая деформацию еІт (г) через вектор смещения и (г):

подставим (22.4) в (22.3а). При этом получим:

При получении выражения (22.5) мы воспользовались симмет­ рией kijlm‘ = hijml-

х) Ситуация здесь аналогична той, которая имеет место в теории термо­ упругих напряжений (см., например, [161]).

201

Уравнение (22.5) удобно решать с помощью преобразований Фурье:

где f( к) есть фурье-образ функции / (г), являющейся фурье-ори- гиналом, и к — волновой вектор — параметр преобразования Фурье. Умножая правую и левую части уравнения (22.5) на ехр(—ikr) и интегрируя по бесконечному пространству, получим:

V

В отличие от исходного уравнения (22.5), уравнение для фурьѳобраза и (к) является чисто алгебраическим и может быть легко решено. Уравнение (22.7) можно переписать в более компактной операторной форме:

где G-1 (к) и ои (р) — операторы, матричные элементы которых в

тензорном представлении есть "кілт kjkl и с\} (р ) соответственно. Решение уравнения (22.9) можно получить, умножая (22.9) на

оператор G (к), обратный оператору G-1 (к )*):

V

По определению, матричные элементы оператора G (к) явля ются фурье-образами тензора Грина анизотропной задачи теории упругости. Для того чтобы более детально определить структуру

оператора G (к), рассмотрим выражение для матричных элемен­ тов (компонент тензора) обратного оператора G_1(k):

x) ö (k) G-1 (k) = 1, гдѳ 1 — единичный оператор, или в матричных обозначениях [б (к)]н [Gr1 (k)];m = 6jm.

202

или в тензорных обозначениях й ;г(и)[й-1 (п)]і7- = бі;- Из выраже­

ния (22.14) следует, что оператор 6 (к) является однородной функцией |к|.

Воспользуемся теперь решением (22.10) уравнений теории уп­ ругости для вычисления полной упругой энергии среды. Полная упругая энергия может быть получена из выражения (22.1) для плотности упругой энергии в результате интегрирования ее по всему бесконечному пространству:

В соответствии с определениями (22.6) фурье-оригиналов через

фурье-образы заменим функции Ѳр (г) и е;Дг) в (22.15) через их фурье-образы:

^ r ) = ! i w 0 p ( k ) e i k r ’ <2 2 Л 6 )

где б (к + к') — дельта-функция Дирака, получим:

V

упр = $ tSf S 4 (р) % (к)*і«Г(к) + 4- (W A ) Sm(к)Щ (к)} .

'' L р=х

(22.18)

Подинтегральное выражение в (22.18) удобно переписать в опера­ торной форме:

203