Файл: Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf

Энергия Uупр в (22.20) отсчитывалась от педеформированного (ei7 (r) = 0), но напряженного состояния. Наоборот, ненапряжен­ ное состояние (3ij (г) = 0), от которого мы будем отсчитывать энергию внутренних напряжений, как уже отмечалось выше, яв­

ляется деформированным: е^(г), по определению, равно е?; (1), e ? j ( 2 ) , ..., е?; (р),..., е°- (ѵ), в зависимости от того, во включении какого типа находится вектор г. Чтобы из ненапряженного состо­ яния бц (г) = 0 создать недеформированное (но напряженное) со­ стояние, необходимо нодвергнуть каждое включение деформа­

ции —еу(1), —e ® j ( 2 ) , . . . , — г%{р), ..., — е?,(ѵ) соответственно в зависимости от типа этого включения. При этом полная энергия, затраченная на переход от ненапряженного к недеформированному состоянию, оказывается равной

где Ѵр — суммарный объем всех включений типа р. Таким обра­ зом, упругая энергия недеформированного состояния превышает упругую энергию ненапряженного состояния на величину (22.22). Поэтому выражение для полной энергии внутренних напряжений, отсчитанной от ненапряженного состояния, может быть получено из выражения (22.21) в результате прибавления к (22.21) разницы в началах отсчета между недеформированным и ненапряженным состояниями (22.22):

(22.23)

здесь Еа — упругая энергия, отсчитанная от ненапряженного со­ стояния.

Выражение (22.23) можно упростить, если воспользоваться тождеством

204

получить из цепочки равенств!

Так как в одной точке г не могут находиться два различных вклю­ чения типа р и q, то интеграл (22.25) отличен от нуля только в том случае, если р = q. Поэтому он может быть представлен в форме

Так как функция формы Ѳр (г) равна либо единице, либо пулю, то Ѳр (г) = Ѳр(г). Воспользовавшись этим обстоятельством, а так­ же тем, что нодинтегральная функция ограничивает пределы ин­ тегрирования объемом включения типа р, получим:

Следует обратить внимание, что при выводе формулы (22.28) для энергии внутренних напряжений нигде не использовалось предположение о том, что включения каждой фазы р являются одно­ связными (вся фаза р сосредоточена в одном включении). В об­

щем случае функция типа Ѳр (г) может описывать произвольное множество самых разнообразных односвязных включений типа р. Поэтому выражение (22.28) может быть использовано как для определения энергии внутренних напряжений отдельных вклю­ чений, так и для определения энергии внутренних напряжений систем включений. В последнем случае выражение (22.28) содер­ жит члены, зависящие от взаимного расположения включений и описывающие их упругое взаимодействие. Наконец, следует подчеркнуть, что выражение (22.28) не накладывает никаких ограничений на форму и взаимное расположение включений. Вся информация о деталях субструктуры гетерофазного кристалла оказывается заключенной в фурье-образы функций формы Ѳр (к).

Рассмотрим некоторые частные случаи использования выраже­ ния (22.28). Первым из них мы рассмотрим случай изолированного включения в упруго-анизотропной среде.

205

§ 23. Внутренние напряжения и форма изолированного когерентного включения [155]

Если мы имеем изолированное когерентное включение, то вы­ ражение для упругой энергии (22.28) упрощается:

где Ѳ (к) — фурье-образ функции формы Ѳ(г) изолированного включения, п = к/ к ,

еу — структурная деформация, которую претерпевает объем матрицы при превращении этого объема в фазу, из которой состо­ ит включение; при этом имеется в виду, что обе фазы находятся в свободном (ненапряженном) состоянии. По определению В (п) 0.

Интересно отметить, что функция |Э(к)|2 в теории рассеяния рентгеновских лучей называется интерференционной функцией Лауэ (см. (27.16)). Она равна

| Ѳ(к) |2 = | ^e~ikr d3r I

V

и описывает «размытие» узла обратной решетки, связанное с конеч­ ностью размеров рассеивающего кристалла (интенсивность рас­ сеяния рентгеновских лучей на расстоянии к от узла обратной ре­ шетки пропорциональна |Ѳ (к)(2).

где min Z?(n) — минимальное значение В ( п). Иснользуя следую­ щее из (22.24) тождество

Правая часть неравенства (23.3) дает нижнюю границу воз­ можных значений энергии внутренних напряжений для включения объема V. Таким образом, из неравенства (23.3) следует, что включение будет обладать минимальной упругой энергией, если его форма и ориентация (т. е. функция | Ѳ(к)|2) таковы, что нера­ венство (23.3) обращается в равенство. Легко видеть, что послед­ нее возможно, если функция | Ѳ (k)|2 в (23.1) отлична от нуля в об­ ласти обратного пространства, представляющей собой тонкий и

2 0 6

длинный стержень в направлении единичного вектора п = п„, для которого функция В (п0) принимает минимальное значение:

если включение заданного объема имеет форму бесконечно тонкой и бесконечно протяженной пластины, поверхность которой пер­ пендикулярна к вектору п0. Такилі образом, минимальной упру­ гой энергией обладают включения пластинчатой формы, поверх­ ность которых перпендикулярна к вектору п0, определяемому из уравнения (23.4). Последнее, следовательно, определяет габитус когерентных включений. Выражение для упругой энергии (23.1) в случае пластины можно переписать в форме

есть величина порядка DIL по отношению к основному слагаемо­ му, пропорциональному объему V, D — толщина, L — характер­ ная протяженность пластины, AB (п) = В(п) — min В (п).

Порядок величины АЕ можно определить с помощью следую­ щих качественных рассуждений. Функция AB (п), по определению, равна нулю для п = п0 и отлична от нуля лишь в меру отклоне­ ния вектора п от направления п0. Интегрирование в (23.6), по су­ ществу, производится в пределах стержня в обратном пространст­ ве, в котором подинтегральная функция отлична от нуля. Этот стержень перпендикулярен к плоскости пластины, его длина рав­ на 2я/D, а ширина 2n/L. Поэтому характерное отклонение векто­ ра п от направления п0 при интегрировании имеет порядок

Этот же порядок имеет и интеграл (23.6).

Точное вычисление интеграла (23.6) для пластинчатого вклю­

вектора п в плоскости пластины. Из формулы (23.7) следует, что упругую энергию АЕ можно интерпретировать как энергию ли­ нейного натяжения струны длиной 2я7?, коэффициент линейного

207

кристаллической решетки матрицы при фазовом превращении, то

ния (23.8) для коэффициента линейного натяжения с соответст­ вующим выражением, вычисленным для дислокационной петли, свидетельствует о том, что величину АЕ можно интерпретировать как энергию дислокационной петли, охватывающей пластинчатое включение по периметру.

Таким образом, энергия Еа внутренних напряжений, возни­ кающих при образовании пластинчатого когерентного включения

мирует объемную химическую свободную энергию (химической свободной энергией мы будем называть свободную энергию в от­ сутствие напряжений). Второй член, АЕ, можно интерпретировать как энергию дислокационной петли, охватывающей включение. Энергия АЕ связана с когерентным сопряжением торцов плас­ тины.

Особый интерес для дальнейшего представляет случай, когда объемный член энергии внутренних напряжений Ѵ2 В (n0)F об­ ращается в нуль. Такая ситуация возможна только в одном случае,

когда деформация есть деформация с инвариантной плоскостью (21.2). Подставляя (21.2) в (23.2) и пользуясь симметрией тензора Кціт относительно перестановки индексов (ЯгЛт = к1т1] = Ктц}) и определением (22.13), получим, что при n0 = m

Тот же результат получается, если п0 — 1. Таким образом, если структурная деформация есть деформация с инвариантной плоско­ стью, то возможны две габитусные ориентации пластинчатого

2 0 8