Файл: Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf

3) Приложим к торцам полученного пластинчатого включения силу F — sBKSlDL = ke0DL (произведение DL имеет порядок площади торцов, звкл—Яе0, К — характерный модуль упругости включения, е0 — характерная структурная деформация), кото­ рая приводит к деформации включения вплоть до достижения пол ного совпадения кристаллических решеток включения и недефор­ мированной матрицы в плоскости сопряжения (рис. 39, е).

Рис. 39. Совокупность операций, приводящих к когерентному сопряже­ нию пластинчатого включения, расположенного в центре образца, с осталь­

ной частью образца (матрицей).

4) «Привариваем» включение к матрице и убираем силу (рис. 39, г). При этом сила F уравновешивается равнодействующей сил, действующих со стороны матрицы в плоскости сопряжения фаз. Величина этой равнодействующей имеет порядок oML2, где <зм — характерное напряжение в матрице, L2 —,характерная площадь сопряжения фаз. Таким образом, из условия равновесия имеем ам£ 2 — Хг0ОЬ, или

См — • (23.23)

Оценка (23.23) показывает, что характерное значение напря­ жений в матрице есть величина первого порядка малости относи­ тельно DIL и ею можно пренебречь в асимптотическом случае

D/L 0.

Последнее утверждение является довольно очевидным. Силы, необходимые для «растяжения» асимптотически тонкого включе­ ния до нужного совпадения плоскостей сопряжения, также асимп­ тотически малы. Поэтому они создают асимптотически малые на­ пряжения в матрице, уравновешивающие эти силы.

Так как матрица находится в недеформированном и ненапря­ женном состоянии, то основное предположение о равенстве моду­ лей упругости включения и матрицы, которое легло в основу из­ ложенной выше теории внутренних напряжений, оказывается из­ лишним. Все результаты, полученные для пластины, оказываются справедливыми и при различных модулях, так как при вычислепии объемной энергии Е 0 — 1/гВ ( n0)F в величину В ( п0) входят модули упругости только включения.

При вычислении энергии (23.21) было, по существу, сделано два предположения. Первое из них есть предположение об однородной

213

деформации включения. Оно справедливо в асимптотическом npèделе DIL ->- 0 (отношение DIL — единственный безразмерный критерий, который можно сконструировать из характерных длин задачи). Другое предположение связано с геометрией модели, в рамках которой производился расчет энергии Е0. Мы приняли модель, согласно которой торцы включения выходят на внешнюю поверхность кристалла. Если торцы «заделаны» в матрицу, то их сопряжение, как это уже отмечалось в § 21, приводит к дополни­ тельным внутренним напряжениям. Энергия этих напряжений, естественно, пропорциональна полной длине торцов (периметру включения), имеющей порядок L. Из характерных параметров задачи —модуля упругости Я, характерной деформации к0 и ха­ рактерных длин D и L — можно сконструировать единственную комбинацию, имеющую размерность энергии и линейно зависящую от L. Эта комбинация имеет вид

правки и определяют величину энергии ДЕ в выражении (23.5). Возвращаясь к дисторсии (23.14), заметим, что она определяет геометрию перестройки кристаллической решетки когерентного пластинчатого включения. Дисторсия позволяет найти две основ­ ные структурные характеристики — параметры кристалличес­

кой решетки и ориентационные соотношения.

Так как когерентное пластинчатое включение находится в од­ нородно напряженном и, следовательно, однородно деформиро­ ванном состоянии, то параметры кристаллической решетки будут отличаться от тех, которые оно имело бы в свободном состоянии. Параметры кристаллической решетки, по определению, связаны с параметрами кристаллической решетки матрицы деформацией

где а“ — основные трансляции матрицы, определяющие ее эле­ ментарную ячейку, as — соответствующие трансляции в когерент­ ном пластинчатом включении. Подставляя (23.24) в (23.25), полу­ чим окончательное выражение:

где S (п0) определяется формулой (23.20).

Ориентационные соотношения между решетками когерентного включения и матрицы определяются углами взаимного разворота

214

решеток. Углы разворота решеток могут быть найдены из выраже­ ния (2.14), которое для случая дисторсии (23.14) приобретает вид векторного произведения:

Напоминаем, что направление вектора <р определяет направление оси поворота, а абсолютное значение вектора <р есть величина угла поворота, выраженного в радианах.

В качестве примера рассмотрим частный случай тетрагональ­ ного когерентного пластинчатого включения, имеющего габитус

Подставляя (23.28) и (23.29) в (23.20), найдем компоненты векто­ ра S(n0):

Из выражения (23.27) следует, что направление оси взаимного разворота решеток включения и матрицы (направление векто­ ра <р) перпендикулярно к направлению векторов S (п0) и п0 =

= (l/j/T , 0, 1/ / 2), т. е. параллельно направлению [010]. Величи­ на угла разворота равна | <р |:

Ф = ~2 [ ^ i i Ь ^ і з ] ( З п — б зз)-

Так как ось поворота параллельна направлению [010] в матрице, то ориентационные соотношения таковы:

§24. Оптимальная форма пластинчатых включений

вплоскости габитуса

Понятие пластинчатого включения, использовавшееся в пре­ дыдущем параграфе, может в равной мере относиться к выделе­ ниям самой различной формы, толщина которых (линейный раз­ мер в направлении, перпендикулярном к плоскости габитуса)

215

постоянна и много меньше, чем все остальные линейные размеры. Так, например, это могут быть диски, многоугольники, эллипсы, прямоугольники, вытянутые пластины — «иглы» и т. д. Поэтому исследование оптимальных форм, частично проведенное выше, должно быть дополнено анализом зависимости энергии внутрен­ них напряжений (23.5) и поверхностной энергии от формы пла­ стинчатого включения в плоскости габитуса.

Будем, как и прежде, исходить из предположения, что опти­ мальная форма определяется из условия минимума суммы упру­ гой и поверхностной энергии при дополнительном условии посто­ янства объема V. Так как толщина пластинчатого включения по­ стоянна и равна D, то условие постоянства объема V сводится к условию постоянства площади S = V/D сечения включения плос­ костью габитуса. Постоянство площади S означает, что варьи­ рование формы в плоскости габитуса не приводит к изменениям поверхностной энергии, которая равна yS = у V/D, где у — коэффициент поверхностного натяжения. Этот вывод справедлив, однако, лишь приближенно, если пренебречь вкладом в полнуг поверхностную энергию поверхностной энергии торцов. Послед няя, разумеется, изменяется при варьировании формы в плоско­ сти габитуса. Поверхностная энергия торцов равна

где у (т) — коэффициент поверхностного натяжения в плоско­ сти, нормальной к единичному вектору т ; вектор m лежит в плос­ кости габитуса и нормален к элементу длины dl контура SP, ох­ ватывающего включение по периметру в плоскости габитуса; Ddl — элемент поверхности торцов; интегрирование в (24.1) производится по контуру Э3. Из (24.1) следует, что поверхност­ ная энергия торцов имеет порядок

где Р — периметр включения, L — его характерный размер в плоскости габитуса. Поверхностная энергия торцов составляет малую долю всей поверхностной энергии. Эта доля имеет порядок

< 2 « >

и, следовательно, ею можно пренебречь. Те случаи, когда поверх­ ностная энергия торцов играет существенную роль и должна учи­ тываться, будут обсуждаться отдельно.

Таким образом, задача определения оптимальной формы пла­ стинчатого включения в плоскости габитуса сводится к вариаци­ онной задаче определения минимума упругой энергии при допол­ нительном условии постоянства площади S = V/D.

216

Фурье-образ Ѳ (к) функции формы пластинчатого включения можно представить в форме

В Приложении 3 показано, что асимптотическое значение интег­ рала (24.5) при DIL -> 0 равно

вектор m — единичный вектор, лежащий в плоскости габитуса и перпендикулярный к элементу dl замкнутого контура у — у{х), охватывающего плоскую фигуру, которая получается в результа­ те сечения пластинчатого включения плоскостью габитуса; ßü(no) — двухмерный тензор второго ранга,

( д*АВ(п) а 2А в ( п )

(оси X и у выбраны в плоскости габитуса). Выбирая направления

217

бсей х и у вдоль главных осей тензора ß^(n0), можно представить

(24.7) в форме

отмечалось, что коэффициент 6 можно отождествить с коэффици­ ентом линейного натяжения дислокационной петли, охватываю­ щей включение по его периметру. В данном случае 6 (т) есть ко­ эффициент линейного натяжения участка дислокационной петли, перпендикулярного к вектору т .

Используя выражение (24.6), можно строго сформулировать вариационную задачу, решение которой дает оптимальную форму пластинчатого включения. Оптимальная форма определяется из условия минимума энергии (24.6) при дополнительном условии постоянства площади, ограниченной замкнутой кривой у = у (х),

есть единичный вектор нормали к элементу длины dl\ d l = V T T p d x .

В такой постановке задача определения оптимальной формы пластинчатого включения является двухмерным аналогом задачи о равновесной огранке кристалла, рассмотренной в работе Л. Д. Лан­ дау [149]. То обстоятельство, что нам известен явный вид коэффи­ циента линейного натяжения (24.9), позволяет произвести полный количественный анализ оптимальных форм.

Варьируя выражение (24.10) по функциям у+(х) и у_(х) и учи­ тывая дополнительное условие (24.11) с помощью метода неопре-

218