Файл: Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf

поверхностного натяжения к энергии упругих напряжений (24.6). В зависимости от направления вектора п0 эффективная функция

линейного натяжения б (па) — б + Dy (ю) будет обладать соответ­ ствующей симметрией 3-го, 4-го или 6-го порядка относительно вектора п0. Можно показать, что в этом случае включения будут иметь форму не диска, а более сложных плоских фигур, обладаю­ щих соответственно симметрией 3-го, 4-го или 6-го порядка.

Подытоживая результаты, изложенные в предыдущих пара­ графах, можно видеть, что теория внутренних напряжений позво­ ляет объяснить все многообразие форм когерентных включений, наблюдаемых при структурных исследованиях.

Если справедливо соотношение |^ r0/L 5 3 1, где г0 — характер­ ная длина, определяемая равенством (23.12), то включения имеют

равноосную форму. Если У г0/Ь < ^1, то реализуется одна из пла­ стинчатых форм. Последние могут варьироваться в широких преде­ лах. Они определяются упругой анизотропией среды и структурной

деформацией г%. В зависимости от значений параметра анизотро­ пии а пластинчатые включения могут иметь форму диска (много­ угольника), вытянутой закругленной или игольчатой пластины.

§ 25. Энергия внутренних напряжений в макроскопически однородном конечном гетерофазном кристалле

Теория внутренних напряжений, развитая в §21, справедлива для систем включений, находящихся в бесконечной среде. Ниже мы рассмотрим макроскопически однородный конечный гетеро­ фазный кристалл. Для того чтобы определить, что мы имеем в ви­ ду под термином «макроскопически однородный гетерофазный кристалл», введем понятие физически малого объема. Назовем фи­ зически малым объемом такую область, характерные размеры ко­ торой существенно меньше, чем размеры кристалла, но сущест­ венно больше, чем размеры выделений. Определенный таким об­ разом физически малый объем содержит достаточно большое чис­ ло включений, чтобы в пределах его можно было бы произвести усреднение. Последнее позволяет ввести понятие концентрации вы­ деляющейся фазы. Концентрация выделяющейся фазы в точке г равна объемной доле выделяющейся фазы в физически малом объ­ еме, расположенном в точке г. Под макроскопически однородным состоянием мы будем понимать состояние, в котором концентра­ ция выделяющейся фазы постоянна по объему кристалла.

В тех случаях, когда суммарный объем, занимаемый частицами выделяющейся фазы, становится соизмеримым с объемом всего кристалла, необходимо принимать во внимание дополнительные эффекты, связанные с конечностью кристалла. Переход к моделиконечного кристалла требует изменения краевых условий задачи. Они должны отражать требование отсутствия сил, действующих на его внешние поверхности.

224

Для того чтобы установить взаимное соответствие между зада­ чами о внутренних напряжениях в конечном и бесконечном крис­ таллах, удобно начать с рассмотрения ситуации, когда конеч­ ный гетерофазный кристалл 2 когерентно связан с бесконечной однофазной матрицей. В этом случае мы приходим к рассмотрен­ ной выше задаче о внутренних напряжениях в бесконечной среде. Чтобы вновь вернуться к задаче о внутренних напряжениях в ко­ нечном кристалле 2 , произведем следующую последовательность операций:

1) Вырежем кристалл 2 из матрицы и приложим к его поверх­ ности внешние силы, равные тем силам, которые действовали на поверхность кристалла 2 со стороны матрицы до того, как он был вырезан. При этом кристалл 2 , естественно, сохраняется в том же состоянии, в каком он находился, будучи когерентно связанным с матрицей.

2) Снимем с поверхности кристалла 2 приложенные внешние силы, т. е. вернемся к интересующей нас ситуации свободного от внешних напряжений гетерофазного кристалла. Снятие внешних сил можно осуществить в результате приложения к каждому эле­ менту поверхности кристалла 2 дополнительной внешней силы, равной силе, действовавшей на этот элемент поверхности после завершения операции 1, и направленной противоположно ей.

Эти дополнительные силы обычно называют силами изображе­ ния. Приложение к поверхности кристалла 2 сил изображения приводит к дополнительной (по сравнению со случаем включения в бесконечной среде) деформации. Для рассматриваемого здесь макроскопически однородного гетерофазного кристалла дополни­ тельная деформация, связанная с силами изображения, также яв­ ляется однородной. Последнее обстоятельство — причина того, что взаимодействие включений через поле сил изображения не за­ висит от расстояния между ними и поэтому является сколь угодно дальнодействующим. Дальнодействующий характер взаимодейст­ вия включений через поле сил изображения был впервые отмечен в работе Зинера [164].

Для количественного описания внутренних напряжений в ге-

V

есть объемная доля фазы р (индекс р нумерует все выделяющиеся фазы, кроме матричной), Ѵр — суммарный объем, занимаемый р-й фазой. Из (25.4) следует, что

Характерные длины, на которых меняется неоднородная часть

деформации бе^(г) и неоднородная часть функции формы 6Ур (г), имеют порядок характерного расстояния между включениями. Так как размеры физически малого объема, по определению, су­ щественно больше, чем характерные расстояния между включе­ ниями, то мы можем производить усреднение в пределах физиче­ ски малого объема. В частности, производя усреднение выражения (22.2) для тензора напряжений, получим:

связано с макроскопической однородностью гетерогенного кристал­ ла '). Так как однородный гетерогенный кристалл находится в сво­ бодном (макроскопически ненапряженном) состоянии, то, поло­

жив в (25.7) ацакр = (г) = 0, получим уравнение для однородной деформации е^-:

hjlmZlm = 2 3°ij (Р) © (Р),

Р-=1

или, используя выражение (22.3), уравнение

V

2 e ?m (Р) W (Р )»

P = 1

‘) В тех случаях, когда гетерогенный кристалл макроскопически не­ однороден, локальная объемная доля фазы р, напряжения а“акр = ö{j(r)

и деформации ец зависят от координат г. Теория внутренних напряжений °Г/и'Р(г) в этом случае становится идентичной теории термоупругости (см., например, [161]).

226

из которого следует соотношение

Р—1

аналогичное правилу Вегарда для концентрационного расшире­ ния кристаллической решетки. Подставляя (25.1) и (25.4) в (22.15) и учитывая равенства (25.3) и (25.6), получим выражение для уп­ ругой энергии:

V

Из определения величин 6ЭР (г) следует, что они удовлетворяют тождеству

V

2 69р (г) = О,

р=0

из которого можно выразить величину б Ѳ0(г), описывающую мат­ рицу:

Упругая энергия (25.11), по определению, отсчитывалась от энергии недеформированного состояния матричной формы еі}-(г) = = 0. Интересующая нас энергия внутренних напряжений, напро­ тив, должна отсчитываться от ненапряженного состояния. Пере­ ход от выражения для упругой энергии, отсчитанной от недефор­ мированного состояния, к энергии внутренних напряжений, от­ считанной от ненапряженного состояния ац (г) = 0, полностью повторяет соответствующий переход от выражения (22.20) к (22.23). В результате для энергии внутренних напряжений получим:

8* 227

где

V

u z = U h [ - 2 o% (p) 6ѲР (г) + ± КіПт(,гі}(г) 6г1т(г)1 . (25.13)

"р=і

Для того чтобы вычислить энергию внутренних напряжений, необходимо подставить в (25.13) деформацию дец (г), являющуюся решением уравнения равновесия да# (г)/дг. = О.Так как

то уравнение равновесия (22.3а) можно переписать в виде

(25.14)

Вводя вектор смещения ѵ (г), связанный с неоднородной деформа­ цией Ь&ц (г) соотношением

к

где V (к) и бЗр (к) есть фурье-компоненты соответственно функций V (г) и бѲр (г) и выражаются через них с помощью равенств

V — объем всего кристалла. Вектор к в выражениях (25.17), (25.18) принимает дискретные значения, допустимые циклически­ ми краевыми условиями. Эти значения образуют квазиконтинуум, так как расстояние Ак между соседними точками к макроскопичес­ ки мало и имеет порядок Ак — Ѵ~''\ Сумму по квазиконтинууму можно заменить интегралом по к, если суммируемая функция

228