Файл: Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 178
Скачиваний: 1
медленно изменяется на расстоянии порядка Ак — F-1'3:
сРк
(2я)э
к
(25.19)
Подставляя (25.17) в (25.16), получим уравнение для фурьекомнонент V (к):
h iim ^ i vm(k) = — i 2 |
(р) ІфЭр (к). |
(25.20) |
p = i |
|
|
Уравнение (25.20) аналогично уравнению (22.7). Совершая те же преобразования, что и в § 22, получим формулу, аналогичную фор муле (22.10):
V (к) = — iG (к)2 о0 (р) I к) бЭр (к). |
(25.21) |
Р |
|
Используя далее решение (25.21) уравнения (25.20), вычислим третье слагаемое в выражении (25.12). Вычисления полностью по вторяют соответствующие расчеты, приведенные в § 22 (см. формулы (22.15) — (22.21)). Они приводят к выражению
V V
и * = |
- 4 - 2 |
2 |
7-1 2 |
Ат ( 4 ) |
(к) бЭ* |
(25-22) |
|
где |
р = 1 |
( і= і |
|
к |
' ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А РЯ (п) = |
<П I о0 (р) й (п) <х° ( q ) I и> . |
(25.23) |
||||
Тан как бЭр(г) |
= Ѳр(г) — со(р), |
то |
|
|
|||
бЭр (к) = Ѳр (к) - со (р) |
§ е~ікг d3r = Ѳр (к) - ш (р) F6k0. |
(25.24) |
|||||
Из формул (25.24) следует, что |
|
|
|
|
|||
|
а э , ( к ) = ! в ’’< к )щ ш к ^ |
° ’ |
(25.25) |
||||
|
|
|
\ |
0 |
при к = |
0. |
|
Используя (25.25) в (25.22), получим:
и* = - 4 - 2 V-12 ' |
Ш Эр(к) э; (к). |
(25.26) |
р,а
Штрих над знаком суммы по к означает, что из суммы (25.26) иск лючено слагаемое, отвечающее к = 0. Подставим в выражение (25.26) представление функции Ѳр(к):
np
Ѳр(к) = 2 |
2 Ѳа (к)ехр(—ikRa ), |
(25.27) |
p |
“ p = i |
|
229
где |
|
|
Ч»(к) = |
$о!3гѲар(г)е-ікг, |
(25.28) |
Ѳ*р (г) — функция формы а р-го включения /»-фазы, |
7ѴР — число |
|
включений р-й фазы, вектор Rap определяет положение центра
тяжести а л-го включения (в выражении (25.27) явно учтено вза имное расположение изолированных включений). При этом полу чим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-ik(R a |
-Ro ) |
|
|
p » |
= - y |
S 2 |
|
|
|
|
а |
р |
*3q |
||
|
|
|
|
|
(k)e" |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Р. 9 “ p ' 3q |
k |
' |
' |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(25.29) |
|
Перепишем выражение (25.29) в тождественной форме, прибав |
|||||||||||
ляя и вычитая из него одно и то же слагаемое: |
|
|
||||||||||
U* = - |
4 |
- |
2 |
2 |
Q ы |
4 |
- 2' Ѳ«р (к) Эр9 (к) <гік (Rv |
RV _ |
||||
- |
4 2 |
|
2 |
4- 2 Т ^ |
(4) - |
Q («р) <Ü Ч (к) Ч (к) " |
" v v . |
|||||
|
р. <J V |
0q |
|
|
|
|
|
|
|
(25.30) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
^ |
— F ^ y У S а р р (у) I Ч (к)I2— |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= п Ы |
^ ' Ч |
т ) і ,Ч<к>І!; |
(25-31) |
|||
F (ap) — объем а р-го |
включения, |
öpq — символ Кронекера. Пер |
||||||||||
вое слагаемое в (25.30) можно легко преобразовать к более про стому виду, используя для этой цели два тождества. Одно из них —
4 -2 Ч (к) ѳ; (к) «Гік(R“P_RV = V (ар) бЯрз5 |
(25.32) |
— может быть получено способом, аналогичным тому, который был использован при выводе тождества (22.24). Второе тождест во —
4 - 2' Ѳар (к) ѳ ; (к)е_Ік (% " % >= V (ар)6,p0Q |
П Ѵ П Р ,) . |
|
V |
’ |
|
(25.33)
оно является следствием первого и получается в результате вычи тания из левой и правой частей (25.32) одного и того же слагае мого, отвечающего к -- 0. Это слагаемое, по определению функ ции Ѳар (к), равно
(25.34)
4 е « р ( 0 ) ѳ ^ ( ° ) = ^ |
0 |
230
Подставим в |
первое слагаемое |
(25.30) |
выражение (25.33). |
|
В результате получим: |
|
|
|
|
Р а г |
|
Р, Q |
ßQ |
|
- у2 2 у 2'К |
(т)- Q К)Ч ѳЯр(к) ѳ; (к) ,-ік(1W |
|||
р. <zV ßq |
к L |
' ' |
J |
8 |
(25.35)
Выражение (25.35) можно упростить, используя следующие опре деления:
2 П Р ,) = * Ѵ |
v - 2 Q { * p ) -Vp t = Q* |
(25.36) |
|
ßq |
Р « р |
Р |
|
Используя (25.36) в (25.35), получим: |
|
|
|
U3 = —- у 2 <?р®(Р) + - у |
2 йрч“ (р)®(?) (?р ~ |
|
|
Р |
Р, q |
|
|
-4-2 2 4-2ЧрЛт)-^(ар)Чѳ“р(к)ѳР0^ е_ім%”Кад)-
Р . « Ѵ ß9 |
k |
' |
(25.37) |
|
Подставляя (25.37) в выражение (25.12), имеем: |
||||
|
||||
£ 0= £ 0„ — -L |
2 |
(р) efm (?) — <?pöpg] И (Р) © (?) + |
|
|
|
р, q |
+ 4-2 2 ^«ppe( R « p - R3e), |
|
|
|
|
(25.38) |
||
где |
|
Р. «I “ р . ßg |
|
|
|
|
|
||
|
|
V |
|
|
Еао = |
4 - 2 [*читв& (Р) e?m (р) - Qp] со (Р) |
(25.39) |
||
Р=1
есть энергия внутренних напряжений, пропорциональная объе мам выделяющихся фаз и, следовательно, не описывающая взаи модействие между структурными составляющими гетерофазного состояния + Величины
Гѵ 9 (в “р - Ч ) |
= |
|
|
|
|
|
= |
4 - 2 ' Ч |
( 4 |
- ) - |
Q ( « р ) Ьря]Ѳ “ р (k ) ® *ß, ( k ) + ik(R a^ Rß^ |
= |
|
|
( 4 - ) |
- |
Q К ) Ч |
4 <k>4 « ß'ik(Rap_R3e) |
(25.40) |
|
x) Интересно отметить, |
что выражение (25.38) аналогично выраже |
|||||
нию (38.26), полученному в гл. VII для упругой энергии кристалла, содер |
||||||
жащего |
поимесные |
атомы. |
|
|
|
|
231
есть потенциалы парного взаимодействия а р-го и ßg-ro включений, находящихся на расстоянии Rap — Rß^ друг от друга. Восполь
зовавшись |
правилом |
перехода от |
суммы |
по |
квазиконтинууму |
||
к интегралу, перепишем (25.40) в форме |
|
|
|
||||
F « p ße ( R - R ' ) = |
|
|
|
|
|
||
= “ $ w t |
M |
- r ) |
- ^ K ) ö M ] e |
“p ( k ) e ^ |
( k ) ^ |
k(R' R ')- |
{ 2 5 -4 1 ) |
Из выражения (25.41) непосредственно следует, что величина |
|||||||
V |
, |
(к) = - |
[ a pq( - £ - ) - ? |
К ) брв] Ѳар (к) в ;д(к) |
(25.42) |
||
есть фурье-образ потенциала парного взаимодействия ар-го и ßQ-ro включений, обусловленного интерференцией связанных с ними полей внутренних напряжений.
Таким образом, мы приходим к выводу, что второе слагаемое в (25.38) описывает взаимодействие структурных составляющих гетерофазного кристалла, не зависящее от расстояния между ними. Это взаимодействие существует только в конечных кристал лах и связано с полями сил изображения. Третье слагаемое в (25.38) описывает парное взаимодействие, зависящее от расстоя ния между включениями.
Рассмотрим теперь важный частный случай двухфазной системы
(ѵ = |
1). Для двухфазной системы выражение для энергии внут |
||||||
ренних напряжений (25.38) имеет вид |
|
|
|||||
Еа = |
-jj- [ |
|
Q\ ® (1 |
®) |
|
|
|
- T |
- R S 5 |
[ а |
(т г ) - |
Q (“ ) ] |
3 » (k) |
(k) e x p [ - ik ( R a - R ß ) ] , |
|
где |
|
|
|
|
|
|
(25.43) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A (n) = |
(n) a°lmnm = <n I OqÜ (n) a01n>, |
(25.44) |
||||
|
|
4 (o) = т Ь г ) ш |
A (t |
) I'9 . « I8; |
PS-«) |
||
8?j — структурная деформация, определяющая перестройку ре шетки матрицы в свободном от напряжений состоянии, о?; = = ^Шт е/т, (о — объемная доля выделяющейся фазы.
В частном случае упруго-изотропной среды, при в?,- = е0бі} (структурная деформация — чистая дилатация), функция А (к/к), которая не зависит от вектора к, есть константа:
А |-^-j = А0= const. |
(25.46) |
232