Файл: Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf

решения этих уравнений y+(x) и y_(x) описывают оптимальную фор­ му пластинчатых включений в плоскости габитуса. Коэффициент Х3 в (24.12а, б) есть неопределенный множитель Лагранжа (со-

D2 L

множитель ß2 -4^- Іп-ц- выбран из соображений удобства в после­

дующих расчетах). Используя выражение (24.9) для ö(m), пере­ пишем (24.12а, б) в форме

где а = (ß2 — ßi)/ß2 есть константа, определяющая анизотропию

Уравнения (24.14) и (24.17) описывают в параметрической фор­ ме две ветви функции у = у (х) (см. рис. 40) и, следовательно, полностью определяют оптимальную форму включений в плоско­ сти габитуса при любых значениях параметра а. Неопределенный множитель Лагранжа играет роль масштабного фактора. Его из­ менение приводит к изменению размеров контура у = у (х), но не изменяет его формы.

Зависимости ж и у от параметра р приведены на рис. 41, а и б, для случая а = 0,9. Интересно отметить, что зависимости у =

219

= у (р) и X — X (р) для а ]> 0,5 описывают по существу две раз­ личные формы включения. Одна из них изображена на рис. 41, в. Ей отвечает замкнутый контур Сх в плоскости (у, р), расположен-

220

отвечают более высоким значениям энергии АЕ, чем контур Clt и поэтому могут не рассматриваться.

Рассмотрим конкретные частные случаи, в которых функция у — у{х) может быть найдена явно.

Если а = 0, то уравнения (24.14) и (24.17) можно представить

Возводя каждое из уравнений (24.18) в квадрат и складывая их, получим уравнение

ставляется естественным. Из выражения (24.9) следует, что при ßx = ß2 функция б (т) не зависит от тп, т. е. коэффициент линейно­ го натяжения контура является изотропным (не зависящим от направления линии, ограничивающей включение по периметру). В этой ситуации выражение (24.6) для АЕ имеет вид

АЕ = Ь-Р

и, следовательно, зависит только от величины периметра Р. По­ следний вывод полностью предопределяет форму включения в плоскости габитуса: среди всех плоских фигур, имеющих оди­ наковую площадь, минимальным периметром обладает круг.

Явное выражение для контура у — у (х) может быть также по­

График функции (24.21), определяющей форму включения при а = 1/2, приведен на рис. 42 (контур 2). Включение имеет эллип­ сообразную форму с закругленными концами.

221

С увеличением параметра а включение приобретает все более вытянутую форму. Это утверждение можно проиллюстрировать зависимостью отношения максимального размера включения вдоль оси у (г/max) к максимальному размеру вдоль оси ж (#max) от пара­ метра анизотропии а. Из выражений (24.17) и (24.14) следует, что

Зависимость г/шах/ятах от а (24.22) приведена на рис. 43 (кривая а).

ладает игольчатое включение, не противоречит результатам пре­ дыдущего параграфа, где показано, что с точки зрения упругой энергии образование пластинчатого включения более выгодно, чем образование любого другого, в том числе и того, которое име­ ет игольчатую форму. Дело здесь заключается в том,что игольча­ тые включения, к которым мы пришли в настоящем параграфе, не являются игольчатыми в полном смысле этого слова: характерные, размеры такого включения связаны соотношением xmax Ушах

^ $ > D . И с т и н н о игольчатые включения имеют другое соотношение характерных размеров:

^max 3^ ^max ~ D,

222

При а ^ 1/2 включения в плоскости габитуса имеют закруг­ ленную форму. Интересная особенность проявляется при а />Jl/2: включения приобретают «острые» концы, расположенные на оси X (см. рис. 41, в, случай а = 0,9). Острота этих концов определя­

рис. 43 (кривая б). Как это следует из рисунка, предельно «ост­ рое» включение (ф = 0°) возникает при а —>- 1, когда последнее имеет форму бесконечно тонкой пластинчатой иглы. Следует, од­ нако, отметить, что, строго говоря, вблизи «острия» выражения (24.6) и (24.7) становятся неприменимыми. В этом случае необхо­ димо проведение более точного расчета величины у (т), в резуль­ тате которого на месте «острия» мы должны получить закругле­ ние, имеющее радиус кривизны порядка D. і

В заключение этого параграфа остановимся более подробно на ситуации, когда _вклад поверхностной энергии торцов (24.1) яв­

оси X — главной оси тензора ßj;-(n0). Однако в некоторых част­ ных случаях, а именно: когда вектор нормали к плоскости габиту­ са п0 направлен вдоль осей 3-го, 4-го и 6-го порядков, а тензор

структурной деформации, е°ц остается инвариантным относитель­ но соответствующих преобразований поворота вокруг этих осей, тензор ßjy (п0) имеет диагональную форму (это следует из сообра­ жений симметрии). Тогда ßx = ß2 и включение, следовательно, имеет форму кругового диска. В этом случае необходимо учесть анизотропные поправки, вносимые в форму кругового сечения дис­ ка анизотропией поверхностного натяжения на торцах включения.

Учет поверхностного натяжения (24.1) не приводит к принци­ пиальным изменениям теории: достаточно во всех выражениях за­ менить коэффициент линейного натяжения б (т) на коэффициент б + Z?y (m)- Эта процедура эквивалентна прибавлению энергии

223