Файл: Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 172
Скачиваний: 1
При к Ф 0 второе слагаемое в правой части (27.5) равно нулю, поэтому при к Ф 0 имеем:
Дфо (к) = (/і — / 2) 2 Ѳі (г) е~ікг. |
(27.6) |
Г |
|
С точностью до поправок, имеющих порядок a/L <^ 1, где а — параметр решетки, L — характерный размер включения, сумму в (27.6) можно заменить интегралом. Тогда
Л?о (к) = (/з. - h ) 54 - »1 (0 е~ікг = |
Ѳ(к), (27.7) |
где Ѳ (к) — фурье-образ функции Ѳ (г), ѵ — объем |
элементарной |
ячейки. Аналогично этому сумму (2.43) можно также представить в виде интеграла:
ѵ (к) = 2 |
и (г) ехР (— ikr) |
^———ч (г) ехр (— tkr). (27.8) |
г |
|
J ѵ |
Принимая во внимание определение фурье-образа смещения (22.8), можно переписать выражение (27.8) в форме
Из (22.10) следует, |
ѵ(к) = 4 " “ (к)- |
|
(27-9) |
|||
что |
|
|
|
|
||
|
|
и(к) = |
— }G (к) а01к> Ѳ(к). |
(27.10) |
||
Подставляя (27.10) |
в (27.9), получим: |
|
|
|||
|
ѵ(к) = |
— *G(k)or0| k > - ^ - . |
(27.11) |
|||
Используя (22.14), |
перепишем (27.11) в виде |
|
||||
|
у (к) = |
- ^ |
(j -So|n> |
e.gEL , |
(27.12) |
|
где п |
= к/ к . Из определения |
(27.1) следует, что |
|
|||
Фо = |
7 і < 0 ! (r)> + и (1 - < В і (г)» = h |
+ h ( l - ■ £ ) ~ |
J (27.13) |
|||
есть средний атомный фактор гетерогенного кристалла. Подстав ляя (27.7), (27.12) и (27.13) в (2.41), получим окончательное вы ражение для интенсивности диффузного рассеяния:
7(q) = | ( p ( q , k ) p i ® ^ - , |
(27.14) |
||||
где |
|
|
|
|
|
Ф (q, k) = |
/-<q|fl^ - qo|n> |
+ |
/г — / 2, |
(27.15а) |
|
или в компонентах |
|
|
|
|
|
Ф(Ч,к) = |
/ |
( п ) |
+ |
/ — /г', |
(27.1561 |
|
|||||
242
Ф (q, к) есть эффективный «атомный» фактор, включающий в себя эффект статических искажений. Функция
Ѳ(k) I2 |
... 1Сd3r |
е-i* 2 |
У o-ikr |
(27.16) |
||
г;2 |
3 |
V |
е |
Zj |
e |
|
|
v l |
|
|
rev, |
|
|
— так называемая интерференционная функция Лауэ, описы вающая размытие узла обратной решетки, связанное с конечно стью рассеивающего кристалла. В случае включения, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, интерференционная функция Лауэ имеет вид
I Ѳ(к) р
V2
|
к |
L0 |
Ä . L |
V i |
sin2 |
У 2 |
smz |
\ 2 |
|
(27.17) |
|
|
|
|
V
где к = (кх, ку, кх)\ |
направление осей в декартовой системе коор |
||
динат совпадает с |
направлениями ребер параллелепипеда; Lv |
||
L2, L 3 — размеры сторон параллелепипеда. В случае сферическо |
|||
го включения |
|
|
|
I Ѳ(к) I |
Ѵг \*Г0 |
sin kR — кЯ cos кН |
(27.18) |
|
|
(кЯ)3 |
|
|
l 3 |
J - |
|
В случае включения, имеющего форму эллипсоида, главные оси которого совпадают с осями декартовой системы координат,
1ѳ (k) I |
sin Е, — Е, cos Z, |
(27.19) |
|
Fs |
|
где | = V k\R\ + k\R\ -f- k\R\ , |
R x, R2, R 3 — главные |
полуоси |
эллипсоида. |
|
|
Первое слагаемое в эффективной амплитуде атомного рассея ния Ф (q, к) (27.15) связано с эффектом упругих искажений, ини циируемых фазовым превращением. Оно определяется упругой анизотропией кристалла и геометрией перестройки кристалличес кой решетки. Слагаемое / х — / 2 есть разность атомных факторов рассеяния включения и матрицы, фигурирующая в выражении для интенсивности рассеяния в отсутствие внутренних напря жений.
Интересно отметить, что учет внутренних напряжений приводит к асимметрии распределения интенсивности относительно узла обратной решетки (относительно точки к = 0). В этом можно убедиться, построив график |Ф ^ , k) J 2 как функцию к при задан ном направлении п = к/к. Функция |Ф (q, k)|2, как это следует из определения (27.15), обладает анизотропией относительно на правления п. Из выражения (27.14) можно видеть, что фактор |Ф (q, k)|2 модулирует распределение интенсивностей внутри узла обратной решетки, которое определяется интерференционной функцией Лауэ (27.16). Последнее означает, что упругие искаже
243
ния, обусловленные когерентным включением новой фазы, не мо гут привести к увеличению размытия узла его обратной решетки. Они могут вызвать лишь перераспределение интенсивностей в пределах этого узла.
В том случае, когда обе фазы имеют близкие атомные факторы (/^ж/а) или же когда нас интересует распределение интенсивности в непосредственной близости от узла обратной решетки (случай малых к), в выражении (27.15) для Ф (q, к) можно пренебречь разностью атомных факторов / х—/ 2. Формула для интенсивности (27.14) тогда приобретает особенно простой вид:
_ ?2 <q I ft (п) яр I п )2 I Ѳ (к) р |
(27.20) |
||||
1 W |
> |
№ |
' V * |
||
|
|||||
В области малых |
к |
(k L <^ 1, |
где L — характерный размер |
||
включения) |Ѳ (k)|2~ |Ѳ (0)|2 = Vf. Используя последний ре зультат в (27.20), получим:
Нч) = Г‘ |
<q IЙ (n) a01n>2 |
(27.21) |
/с2 |
Из выражения (27.21) можно получить уравнение изодиффузной поверхности (поверхности постоянной интенсивности), справедли вое при малых к. Для этого необходимо положить q = 2лН + к ^ ~ 2лН и 7(q) = const. Тогда из (27.21) следует:
к<1= |
< 2 я Н I “ |
I п > 2 ’ |
|
или |
|
|
|
|
/c2~ < H | Ö (n )â 0|n>2. |
(27.22) |
|
Выражение (27.22) представляет собой зависимость радиусавектора к = к (п) изодиффузной поверхности, проведенной вокруг узла обратной решетки Н, от его направления п, т. е. уравнение поверхности, записанное в сферических координатах.
В работе [141] были исследованы изодиффузные поверхности (27.22) в конкретном частном случае тетрагональных выделений в кубической a-фазе сплава Си — Be. Компоненты тензора Qi7-(n) вы числялись согласно выражению (26.7). В [141] предполагалось,
что упругие постоянные сп , |
с12, |
с41 |
имеют те же значения, что |
|
и в чистой Си. |
Компоненты |
тензора структурной деформации |
||
|
4 = |
(< |
0 |
о \ |
|
0 |
е® |
0 |
|
|
|
\0 |
0 |
в,®/ |
равны е? = 0,04, |
Бз = — 0,20. |
|
|
|
Результаты расчета [141] приведены на рис. 45 и 46, а. Кон |
||||
туры, изображенные на этих |
рисунках, представляют собой се |
|||
чения изодиффузных поверхностей, |
расположенных вокруг узлов |
|||
244
обратной решетки, плоскостями (100)* и (НО)*. Форма рассчи танных сечений хорошо согласуется с картинами электронной мик-
родифракции |
[141] (сравните рис. 46, а и 46, |
б) и с результатами |
||||
рентгеноструктурных |
исследований [185—187]. |
|
||||
В о б щ е м |
с л у ч а е , |
к о г д а |
| Ѳ (k) |2 ä ; Ѵѵ н о |
/ |
х Ф / 2 , у р а в н е н и е |
|
д л я и з о д и ф ф у з н о й п о в е р х н о с т и и м е е т в и д |
|
|
||||
|
|
2 я / Я ^ |
(п) e°jlnl |
|
(27.23) |
|
|
|
+ |
V Іо |
-f- /2—fl |
|
|
|
|
|
|
|||
где / 0 — значение интенсивности, отвечающее |
контуру (27.23). |
|||||
. 220^ |
^y^oß |
\^220 |
000- 'y(o2o
220>\ ^ |
sy(ooo |
f *220 |
Рис. 45. Рассчитанная форма узлов обратной решетки для сплава Си — Be в плоскости (100)* обратного пространства, содержащей ось тетрагональ
ное™.
Знак плюс или минус в (27.23) выбирается таким образом, чтобы правая часть (27.23) была бы положительной.
Все выражения для интенсивности, приведенные в настоящем параграфе, справедливы, если выполняется неравенство
Ни < 1 |
(27.24) |
(и — характерное смещение, Н — вектор |
обратной решетки), |
справедливость которого обеспечивает возможность разложения (2.36) рассеивающей способности ф (г) в ряд по смещениям. Если принять для смещения и оценку
|
и — e0L, |
|
(27.25) |
где е0 |
— характерная структурная деформация, то, |
подставляя |
|
(27.25) |
в (27.24), получим: Нг0 L |
1, или |
|
|
ео£ ^ 1!Н = |
du, |
(27.26) |
245
где — межплоскостное расстояние, отвечающее рефлексу Н. Неравенство (27.26), по существу, означает, что условие приме нимости приближения (24.24) сводится к требованию, чтобы сме щение границ включения e0L, обусловленное фазовым превраще нием, было бы много меньше, чем межплоскостное расстояние d-a- Это условие выполняется при малых структурных деформациях и малых размерах включений L.
Гнс. 46. а) Рассчитанная форма узлов обратной решотки в плоскости (110)* обратного пространства для сплава Си — Бе. б) Картина электронной микро-
дифракции в той же плоскости.
Неравенство (27.26) можно интерпретировать и иначе. Для этого представим (27.26) в форме
АН = Яе0 < 1/L. |
(27.27) |
Левая часть неравенства (27.27) характеризует величину смещения АН узла обратной решетки включения относительно узла обрат ной решетки Н матрицы, обусловленного структурной деформа цией е0. Правая часть — размеры узла обратной решетки включе ния и матрицы, определяемые интерференционной функцией Лауэ (27.16). Таким образом, неравенство (27.27) показывает, что размеры рефлексов включения и матрицы много больше, чем расстояние между ними в обратной решетке. Последнее означает, что рефлексы включения и матрицы перекрываются и, следова тельно, включение и матрица рассеивают когерентным образом. В этой ситуации мы можем говорить о существовании некоторой слабо искаженной «средней» решетки сплава. В противоположном случае, когда знак неравенства (27.27) меняется на противополож ный, т. е.
АН = Не0> 1/L, |
(27.28) |
246
п
расстояние АН между рефлексами выделения и матрицы много больше, чем размеры этих рефлексов -~1/Ь, т. е. рефлексы обеих фаз не перекрываются. Тогда обе фазы рассеивают независимо друг от друга (некогерентно). Таким образом, соотношение между ве личинами АН и 1/L определяет степень когерентности рассея ния-обеими фазами.
Интересно отметить, что эти условия зависят от индексов уз лов обратной решетки Н. При высоких индексах отражения ус ловие когерентности рассеяния включением и матрицей (27.27) может нарушаться. Можно вполне представить себе ситуацию, когда включения и матрица при низких индексах отражения рас сеивают когерентно (распределение интенсивностей в рефлексах описывается выражением (27.14)), в то время как при высоких индексах отражения включения и матрица рассеивают некогерент но и их рефлексы в обратной решетке оказываются разделенными.
Таким образом, все результаты, полученные выше, относят ся к той стадии распада, когда размеры включений достаточно малы для того, чтобы выполнялось неравенство (27.26) и, следо вательно, не наблюдались отдельные рефлексы от выделения и от матрицы.
§28. Роль внутренних напряжений и вакансий
втермодинамике образования устойчивых сегрегаций
(Al-состояния)
Учет внутренних напряжений позволяет, по-видимому, объ яснить еще одно весьма интересное явление — так называемое A-состояние, возникающее в некоторых однофазных твердых растворах [188]. Ä-состояние было обнаружено в сплавах, кото рые первоначально были подвергнуты закалке с высоких темпе ратур или холодной деформации, а затем — низкотемпературно му отжигу. В результате низкотемпературного отжига отмечалось увеличение электросопротивления. Это явление, в принципе, мог ло быть объяснено либо эффектом ближнего расслоения, либо же тем, что граница однофазной области определена недостаточно точно и сплав при низкотемпературном отжиге фактически нахо дится в двухфазной области диаграммы равновесия.
Возможно, что некоторые случаи А-состояния действительно могут быть объяснены подобным образом. Однако для части спла вов такое объяснение оказывается невозможным. В этой связи в работах Б. Г. Лившица и сотрудников [189, 190] была выдвину та гипотеза, согласно которой увеличение электросопротивления прч отжиге связано с образованием устойчивых сегрегаций в од нофазном твердом растворе. Несмотря на то, что точка зрения U89, 190] позволяла хорошо объяснить экспериментальные фак ты, она, по-видимому, не могла быть удовлетворительно обосно вана в рамках обычных представлений термодинамики фазовых превращений. В самом деле, в однофазной области диаграммы
247