Файл: Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf

где

гп = 16яг(001)

З ^ а ( п ) (с°-с°)’

Решение уравнений (32.10) и (32.11) можно представить в про­ стой форме, если реализуется неравенство

но убедиться в том, что неравенство (32.12) не является допол­ нительным ограничением, необходимым лишь для того, чтобы найти простое выражение для периода модуляции а0. Оно дик­ туется, в первую очередь, условием применимости теории (32.2).

трехмерной структуры в точности равна объемной свободной энер­ гии одномерной, однако сумма поверхностной и упругой энер-

285

гии АЕ в одномерной структуре оказывается более низкой. Это различие в свободных энергиях уменьшается по мере увели­ чения размеров комплекса.

В настоящей главе мы, в основном, обсуждали теоретические аспекты проблемы образования модулированных структур. Под­ робное сопоставление результатов теоретического анализа с ре­ зультатами рентгеновских и электронномикроскопических исследо­ ваний будет проведено ниже, в гл. VI.

§ 33. Периодические системы упругих концентрационных доменов, возникающих при распаде однородного

твердого раствора на кубическую й тетрагональную фазы [160]

Рассмотрение, проведенное в предыдущих параграфах, отно­

Если хотя бы одна из выделяющихся фаз, образующихся в про­ цессе распада, имеет более низкую симметрию, чем исходная, то теория упругих доменов должна быть видоизменена. Однако и в измененном виде теория продолжает исходить из основного по­ ложения, что геометрия гетерофазной структуры определяется из условия минимума суммы химической и упругой свободных энер­ гий. Получаемые при этом доменные структуры отличаются от структур, полученных в предыдущих параграфах.

В качестве примера рассмотрим довольно распространенный частный случай, когда однородный твердый раствор подверга­ ется распаду, в результате которого образуются кубическая и тетрагональная фазы, отличающиеся друг от друга составом. Сопряжение фаз с различными кристаллическими решетками, как об этом упоминалось в предыдущем параграфе, создает внут­ ренние напряжения. Их присутствие ведет к возрастанию полной свободной энергии гетерофазной системы на величину энергии поля упругих напряжений. Эта энергия зависит от формы и взаимного расположения включений тетрагональной фазы, в то время как химическая свободная энергия не зависит от простран­ ственных конфигураций, образуемых включениями, и определя­ ется лишь суммарными объемами фаз. Таким образом, при задан­ ных суммарных объемах фаз, формирующих гетерофазную систему, величина полной свободной энергии может быть уменьшена за счет понижения уровня внутренних напряжений и уменьшения величины поверхностного натяжения межфазных границ. Этого результата можно добиться путем выбора оптимальных форм и взаимных расположений включений.

Для того чтобы построить теорию пространственного распре­ деления включений тетрагональной фазы, находящихся в усло­ виях термодинамического равновесия с кубической фазой — мат­ рицей, необходимо найти условия равновесного сосуществования фаз. В обычных условиях, рассматриваемых в классической тер-

286

модинамике фазовых превращений, свободная энергия системы является аддитивной величиной и нахождение условий равнове­ сия сводится лишь к определению равновесных составов сосуще­ ствующих фаз. В рассматриваемом здесь случае свободные энер­ гии фаз включают в себя также энергию упругих искажений ре­ шетки, и поэтому свободная энергия системы зависит не только от суммарных объемов фаз, но и от их взаимного расположения. Последнее означает, что условие термодинамически равновес­ ного сосуществования фаз должно определять и взаимное располо­ жение включений.

Таким образом, задача определения конфигураций, образуе­ мых включениями, которые находятся в равновесии с кубической матрицей, сводится к нахождению минимума свободной энергии системы при дополнительном условии постоянства суммарного объема тетрагональной фазы. Вопрос о применимости такой по­ становки задачи к описанию реальных ситуаций, возникающих в распадающихся сплавах, еще раз будет обсуждаться в заключение настоящего параграфа.

Если модули упругости матричной фазы равны модулям упру­ гости выделений, связанных с матрицей когерентным образом, то упругая энергия произвольной системы тетрагональных включе­ ний в кубической матрице выражается формулой (22.28):

где индексы p и q нумеруют типы тетрагональных включений (из кристаллографической симметрии матрицы следует, что в ней могут возникать тетрагональные включения трех типов, по числу возможных ориентаций оси тетрагональности вдоль направлений типа < 1 0 0 ) кубической матрицы). Функции Ѳ р (к) являются фурьеобразами функций формы включений типа р. Индексы р, q равны 1, 2, 3, если ось тетрагональное™ включения направлена вдоль осей [100], [010] и [001] кубической матрицы соответственно.

Рассмотрим некоторую область внутри матрицы, охватываю­ щую все включения тетрагональной фазы. Как и в случае, разоб­ ранном в предыдущих параграфах, будем называть эту область

комплексом. Введем функцию формы комплекса Ѳ(г), равную единице, если радиус-вектор г попадает внутрь комплекса, и нулю

в противоположном случае. При этом функцию формы Ѳ р (г) тет­ рагональных включений типа р можно представить в виде

комплекса Ѵ0, Ѵр — суммарный объем тетрагональной фазы типа

287

размер включений типа р. Если размер включений Lp существенно

АѲр(к)Ѳ(к) = 0. Подставляя (33.3) в (33.1) и используя свойст-

Р= 1

Чтобы убедиться в справедливости сделанных утверждений, достаточно сравнить первое слагаемое в (33.4) с выражением (23.1) для энергии отдельного кристаллита, сопряженного с мат­ рицей.

Второе слагаемое в (33.4) описывает часть упругой энергии, связанную с локальными отклонениями коэффициентов Ь0 (р) от своих средних значений. В § 23 показано, что образование одного включения новой фазы в бесконечном упруго-анизотропном кон­ тинууме сопровождается минимальным проигрышем в упругой энергии, если включение имеет форму тонкой протяженной пла­ стины, единичный вектор нормали п0 к которой определяется из

288

условия (23.4). Из (23.5) следует, что энергия такого включения равна

где АЕх — малая величина, имеющая порядок D /L s ^ . 1; D — толщина пластинчатого макрокристаллита, Ls— протяженность макрокристаллита в плоскости габитуса;

Легко убедиться простой подстановкой (см., например, в § 23 расчет энергии внутренних напряжений, связанных с образова­ нием пластинчатого включения, характеризуемого деформацией с инвариантной плоскостью), что упругая энергия пластины с точ­ ностью до асимптотически малых членов по D/Ls обращается в нуль, если средняя деформация в1} имеет вид диадного произве­ дения:

где п0 — единичный вектор нормали к пластине, а 1 — произволь­ ный постоянный единичный вектор. Что же касается поправки АЕх (33.7), то она была вычислена в § 24 (см. (24.6) — (24.8)) и

может быть представлена в виде

m — единичный вектор, лежащий в плоскости габитуса (нш0 = 0) и перпендикулярный к вектору dlm — элементу длины кривой,

деформация. Интегрирование в (33.10) производится по периметру макрокристаллита. Деформация (33.10) представляет собой де­ формацию с инвариантной плоскостью. Поэтому обращение в нуль упругой энергии, пропорциональной объему F0, представ­ ляется естественным, так как инвариантный характер плоскости сопряжения включения и матрицы означает, что граница сопря­ жения фаз не является источником внутренних напряжений. Что касается поправки АЕи то из (33.10) следует, что ее величина про­ порциональна периметру пластины и совпадает с величиной энергии дислокационной петли, расположенной по периметру (вектор Бюргерса этой петли равен b0D).