Файл: Хачатурян, А. Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов.pdf

Подставляя в (38.18) формулы (38.12) и (38.17), получим:

Nv

(сравните с (25.41)). При получении (38.22) мы воспользовались тождеством

-jj- 2 1А 7 р (к) I2 = N c p (1 — ср).

Так как при к -> О ер (к) ->■ 0 (см. (38.8)), то Vpq (к) в виде (38.20) характеризует энергию парных взаимодействий при к Ф 0. Фурье-компонента потенциала взаимодействия при к Ф О характеризует ту часть энергии взаимодействия, которая зави­ сит от координат элементарных ячеек, содержащих атомы внедре­ ния. При переходе от выражения (38.19) к (38.22) потенциалы парного взаимодействия

F p q ( R ) = ^ 2 F ^ k ) e i k R ’

к

зависящие от расстояния между примесями внедрения, были выб­ раны таким образом, чтобы FPP(R) = 0 при R = 0. Последнее позволило исключить эффект «самодействия», которому отвечает энергия, не зависящая от взаимного расположения примеси. Фурье-компонента энергии парного взаимодействия при к = О, не зависящая от взаимного расположения примеси, определяется

329

Выражение (38.23) описывает, согласно терминологии Зинера [164], энергию взаимодействия атомов внедрения на далеких рас­ стояниях. Природа этого взаимодействия разбирается в [164, 252]. Как показано в [164, 252], введение точечных дефектов в упруго­ изотропный объем конечного размера приводит к появлению «мнимых» поверхностных сил, создающих однородные напряжения. Взаимодействие локальной деформации, связанной с введением точечного дефекта, с этими напряжениями и приводит к взаимодей­ ствию точечных дефектов на далеких расстояниях.

Энергия в формуле (38.1), а следовательно, и в (38.22) отсчи­ тывалась от энергии, которой обладает недеформированная ре­ шетка растворителя при наличии в ней атомов внедрения. При этом под недеформироваиной решеткой мы подразумеваем такую решетку, положение атомов растворителя которой совпадает с положениями соответствующих атомов в чистом растворителе. Если мы хотим отсчитывать энергию от состояния, в котором на­ ходится чистый растворитель, то к энергии АФ необходимо доба­ вить энергию Е 0, соответствующую энергии недеформированной решетки (при наличии в последней атомов внедрения). Энергия Е 0 должна быть пропорциональна просто числу атомов внедре­ ния, так как в отсутствие деформаций отсутствует и деформацион­ ное взаимодействие между атомами внедрения. Последнее озна­

Соберем все атомы, отвечающие каждому из ѵ типов междо­ узлий внедрения, в ѵ кластеров, по одному на каждый из типов междоузлий. Под кластером типа р будем понимать односвязную замкнутую область кристалла, все элементарные ячейки которой содержат по одному атому внедрения, находящемуся в позиции р. Если вырезать такой кластер из кристалла, то в свободном состоя­

нии он испытывает однородную деформацию Ъц — и%(р) (по опре­ делению, концентрация в кластере ср — 1). Для того чтобы вер­ нуть кластер в недеформированное состояние, необходимо под­

где Ѵкл — объем кластера, определяемый очевидным равенством Ѵкл = Np-v (Np — полное число атомов внедрения в кристалле в позиции типа р). После возвращения кластера в недеформирован-

3 3 0

тіое состояние «вставляем» еги на прежнее место в кристалл и «при­ вариваем». В результате такой процедуры, проведенной со всеми кластерами, мы получим недеформированную решетку. Энергия Е 0, затраченная на создание такого недеформированного состоя­ ния, будет, в соответствии с вышесказанным, определяться равен­ ством

V

Е0= ~ Кпш 2 ИЦ (Р) И/т (Р) мр = - L Я тѵХШти%(1) U°lrn(1), (38.25) 1

V

где Л/вн= 2 —полное число атомов внедрения. При получении

р= і

(38.25) мы воспользовались тем, что благодаря кристаллогра­

фической эквивалентности междоузлий скаляр kijimiiij(p)u°im(p) не зависит от номера междоузлия р. Прибавляя энергию недефор­ мированного состояния (38.25) к выражению для изменения энер­ гии за счет деформации (38.22), получим полное изменение энер­ гии решетки за счет введения в нее атомов внедрения:

ДФ = 4 " №і}1ти°ііI1) и°1т(!) — <?1 +

Первое слагаемое в (38.26) представляет собой сумму энергий, необходимых для внедрения в междоузлие каждого из атомов при­ меси. Второе слагаемое, в котором VPQ(0) дается формулой (38.24), характеризует энергию взаимодействия на далеких расстояниях, и, наконец, существование третьего слагаемого связано с энергией

ющей дискретного строения и упругой анизотропии кристалли­ ческой решетки. Результаты [252] можно получить как частный случай, посредством предельного перехода в Q. Для этого необ­

ходимо положить и°ц =-- и0&ц, где н0 — линейный коэффициент концентрационного расширения решетки. Пренебрежение дис­

331

плотность чистого растворителя, с„ — скорость звука в ветви <з. Наконец, пренебрежение упругой анизотропией решетки дает e1(k)||k, е2 (k) _[_ к, е3 (к) J_ к и то, что с0 не зависит от направле­ ния к. Кроме того, считаем, что имеется только один тип поло­ жения дефекта (ѵ = 1). Используя эти упрощения в формуле

(38.21), получим:

Результат (38.29) совпадает с соответствующим результатом [252]. Следовательно, формулы (38.27) и (38.23) имеют правильный предельный переход.

Таким образом, мы имеем полное выражение (38.26) для энер­ гии, связанной с упругой деформацией матрицы, при введении в нее точечных дефектов. Эта энергия выражается через константы материала: параметры решетки растворителя, концентрационные зависимости периодов решетки, частоты колебания и модули упру­ гости решетки чистого растворителя. Все эти данные можно полу­

чить из независимых экспериментов. Векторы Fp (к) в приближе­ нии ближайших или ближайших и следующих за ними соседей могут быть выражены через модули упругости и концентрацион­

ные коэффициенты и\}{р). Для этого необходимо использовать определение (38.5) и связь тензора о°Др) с силами Fp (R):

где alt a2, a3 — три ребра, куба ОЦК элементарной ячейки, па­ раллельных осям [100], [010] и [001] соответственно; а„/2 — век­

332