Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 118
Скачиваний: 0
Белый шум в пределах полосы пропускания с идеальными харак тернстиками имеет спектральную плотность:
Ф** (“ ) = |
а, |
со„ |
ДСО |
СОК V со,. |
Дсо |
(4.39) |
2 )/ < | |
2 |
|||||
Ф ,Л.(со) = |
0 |
(за |
пределами полосы пропускания), |
|
||
где Асо — ширина полосы и сос — центральная частота полосы про пускания. При этом, конечно, предполагается, что Лсо/2< сос. Тогда
шс + Дю/2
Ф**(т) : |
acoscotcfco |
оДсо |
Г sin (тДсо/2) |
(4.40) |
------- COS со. т |
----- — — — |
|||
|
|
л |
L (тДсо/2) |
|
- Дсо/2
Рис. 4.5. Графики функций срхх (т) и Фхх (со) для низкочастотно го белого шума.
Анализ этого выражения показывает, что оно представляет высоко частотную косинусоиду cos сос т, амплитуда которой модулируется
Рис. 4.6. Графики функций <рхх (т) и Фхх (со) для белого шума в поло се пропускания Дсо.
от значения (аДсо/я) при т = 0 в соответствии с изменением члена в квадратных скобках. Графики функций фа..* (т) и (со) пред ставлены на рис. 4.6.
Случайный шум с экспоненциальной автокорреляционной функ цией. Большинство переменных имеют автокорреляционные функ ции, уменьшающиеся с возрастанием корреляционного интервала т. Часто такие автокорреляционные функции могут быть аппрокси-
72
мированы с разумной степенью точности, экспоненциальной функ цией вида
ф (т) = ст2 exp (—р | т |), |
(4.41) |
представленной на рис. 4.7. Использование в качестве амплитуды о2 согласуется с уравнением (4.8), когда = 0. Стационарные во времени процессы, автокорреляционные функции которых экспо ненциальны, называются марковскими случайными процессами.
Рис. 4.7. Графики ср** (т) и Фхх (со) для случайного шума, имею щего экспоненциальную автокорреляционную функцию.
Спектральная плотность мощности такой переменной определяет ся следующим образом:
|
|
оо |
|
|
|
■Флж-(со) |
^ о2е_ Р1тI е_ ->ат dx — |
|
|
|
|
— со |
|
|
|
оо |
|
2дар |
|
|
- 2 о 2 ^ |
е—Рт cos ют dr |
(4.42) |
|
|
Р*+<0® |
|||
|
—о |
|
|
|
Графики |
(т) и Фхж (со) приведены на рис. 4.7. |
|
||
Случайный шум с экспоненциально-косинусоидальной авто корреляционной функцией. Имеется большое число процессов, ко торые при возбуждении входным сигналом, носящим характер бе лого шума, воспроизводят случайный шум с экспоненциально-коси нусоидальной автокорреляционной функцией. Примеры этому, при водимые Бендатом Е1J, включают тепловой шум в электрических це пях, броуновское движение, атмосферные возмущения, модулиро вание синусоиды с произвольной амплитудой и фазой, дробовой эффект, тепловые шумы в линейных системах и другие. Рассмотрим переменную, имеющую автокорреляционную функцию в виде
Фат* (т) = ° 2 ехР (—Р I Т1) COS со0т, |
(4.43) |
которая представлена на рис. 4.8. Отметим, что выражение о2ехр (— р |тг |) дает огибающую функции. Спектральная плотность мощности записывается следующим образом:
73
оо
Ф.-с.-с(®)— |
^ |
0 2е—PlTl cosco()Te—-,fflTdT = |
||
|
—оо |
|
|
|
|
|
оо |
|
|
— 2а2 |
^ e_ PTcosco0TcoscoTrfT = |
|
||
|
о |
|
|
|
|
|
Р |
Р |
|
(ш+со0)2+ |
Р2 • Ь-(со—СОо)2 +р2 |
|
||
= 2ра2 |
______ со2 + (Р2 + сод)______ |
(4.44) |
||
|
co4 + 2co2(P2-co§) + (P2+coS-)2 . |
' |
||
Рис. 4.8. Экспоненциально-косинусоидальная автокорре ляционная функция.
Хотя это выражение кажется сложным, некоторые свойства его лег
ко установить. При со |
оо |
(со) |
0. Для со = |
0 |
|
|
Ф«<°) = - ^ |
Г |
. |
(4-45) |
|
|
|
СОо +Р" |
|
|
|
Эти асимптотические значения полезны при построении зависимости
Ф** (“ ).
Взяв производную и приравняв ее нулю, можно определить на личие и местоположение максимума или минимума Фя* (со):
d-Фхх (со) |
—2со [со4 + 2 (Р2+сОр) со2 -Ь (Р1 2ft2 cog 3to$)] |
|
^д. |
Ла ~ |
[со4 + 2со2 (Р2—со§) + (P2 + coj)2]2 |
’ |
К ' 1 |
Рассмотрение этого выражения показывает, что оно непрерывно для любых действительных значений со. Приравняв это выражение нулю, найдем частоты соь при которых (со) достигает максималь ного или минимального значения:
со4 + 2 (р2 + со2) ю2 + ф 4 —2р2со2 — 3со4) = 0. |
(4.47) |
Решая квадратное уравнение и извлекая квадратный корень, полу чаем частоту
со, = ± (|32 + со2) [ 2 с о 0—(Р2+ со2)'/2]!/2, |
(4.48) |
74
которая является действительной только при
3(о„2> Р *. |
(4.49) |
Если это условие выполняется, максимальные значения получаются при значениях ±o)Xl определяемых уравнением (4.48). Это макси мальное значение находится путем подстановки ± © i в уравнение (4.44), решая которое, получаем
Ф (± (Их) |
а2 р |
(4.150) |
|
2сй0 [(Р3+а>о)1/2—©о] |
|||
|
|
Рис. 4.9. Спектральные плотности мощности для переменных, имеющих экспоненциально-косинусоидальную автокорреляционную функ цию (а — Зсо0> Р 2; б — Зш0< Р 2).
График функции (со) показан на рис. 4.9а. Если условие (4.49) не выполняется, т. е. если
Зсо^СР2, |
(4.51) |
уравнение (4.47) не имеет действительных корней и, следователь но, Фхх (со) не имеет максимумов, кроме максимума при со = 0. Это значит, что Фжх (со) монотонно уменьшается при со оо. Этот случай показан на рис. 4.9 б.
§ 4.6. Взаимная корреляционная функция
Метод, использованный для автокорреляционной функции, по добным же образом можно применить для определения взаимной корреляционной функции между любыми двумя выбранными сиг налами Xi (t) и t/i (t) (рис. 4.10), взятыми из двух эргодических про-
75
цессов х (t) и у (t) соответственно. Эта взаимная корреляционная функция имеет вид:
|
т |
Ф*у(г) = 1'Ш |
f xi {t)yi {t+x)dt = E[xi {t)iJl (.t + x)). (4.52) |
Т-+ оо £1 |
J |
|
— Г |
Взаимная корреляционная функция является действительной функ цией как для положительных, так и для отрицательных значений т. Однако в отличие от автокорреляционной функции, она не симмет рична по отношению к вертикальной оси, и ее максимальное значе ние обычно достигается не при т = 0. Для отрицательного сдвига получаем
Рис. 4.10. Определение взаимной корреляционной функции отдель ных сигналов Xi (t) и (/,• (/).
Вводя перенос начала на временной оси
/' = / — т |
(4.54) |
в уравнение (4.53), получаем
фх!/ (—т) = Е \.х (t' + т) у (/')]. |
(4.55) |
Поскольку рассматриваются стационарные во времени процессы, то штрих у f в уравнении (4.55) может быть опущен:
Ф*„ (—т) = Е [х (( + т) у (/)] =
= Е [у (t) х (t + т)] = <рух (т). |
(4.56) |
Важно отметить, что следует обращать внимание на то, какая пере менная смещается относительно другой, поскольку взаимная корре ляционная функция не является четной функцией и, следовательно, не одинакова, для положительных и отрицательных т. Другим вы-
76
ражением для.взаимной корреляционной функции cp^j, (г) является выражение
Ф.г-у (т) = E [x{t — т)у (/)], |
(4.57)' |
где смещение х по отношению к у делается в том же направлении, |
|
что и в уравнении (4.53). Хотя |
фа..,, (т) может превышать ср ху (0), |
||
можно показать, что верхним пределом для |
(т) будет выражение |
||
I Ф W K y |
[ф** (0) + фут/ (0)]. |
(4.58) |
|
Другое полезное соотношение получается с помощью неравенства Шварца, которое применительно к переменным х (t) и у (t + т) уста навливает:
£{[* (/)]2} Е{[у (t + т)]2} > Е{[х (t) у {t + т)]2}. |
(4.59) |
Поскольку у {£) стационарна,
Е {[y(t + т)]2} = Е {[у (012}. |
(4.60) |
Следовательно, выражение (4.59) преобразуется в
Ф** (0) Ф|tv (0) > [фзд W12 = I ф*„ (т) Г. |
(4.61) |
которое можно переписать в виде отношение:
|-Ф*!/ (т) 18/фях (0) |
(0) < 1, |
(4.62) |
часто называемого нормированной взаимной корреляционной функ цией (если учитывается знак ц>ху), всегда имеющей значение, равное или меньшее, единицы.
§ 4.7. Взаимная ковариационная функция
Способом, подобным тому, который использовался при рассмот рении автокорреляционных функций, определим взаимную ковариа ционную функцию двух переменных как взаимную корреляционную функцию для случая, когда средние значения этих переменных рав ны нулю.
Рассматривая переменные
х (t) |
= |
х' |
(t) |
+ |
р* |
(4.63) |
У (0 |
= |
у' |
(0 |
+ |
Н-1/. |
(4.64) |
где х' (t) и у' (t) — флуктуации около средних значений рж и р„ соответственно, и подставляя их в уравнения, определяющие вза имную корреляционную функцию, получаем:
Фзд СО = Е[х (t) y{t + x)]=E {{х' {t) -f p j \y' (f + t ) + p„]> =
= E ,lx’ 00 y' (t+ t)] + p„ E [x' (t)] + P* E [y' (f)] + ^ [^ 1/- |
(4.65) |
|
77 |
По |
определению х' (t) |
и у ’ (/), средние значения |
Е[х' (/)] и |
Е [у' |
(/ + т)] равны нулю, |
и уравнение (4.65) переходит в уравнение |
|
|
фзд М = ф*■- у' W Ч-И*И-» = Сху (т) + Ма- Чу, |
(4-66) |
|
где Сху (т) является взаимной ковариацией переменных х (/) и у (t). В соответствии с методом, используемым для автоковариации, символ Сху (т) будет использоваться для взаимной ковариационной функции х (J) и у (/) для случая, когда р..^ или р и должны быть равны нулю. Если это условие не выполняется, будет использоваться обо
значение фгг/ (т) для взаимной корреляционной функции.
§ 4.8. Взаимная спектральная плотность
Аналогичным же образом, который использовался для спект ральной плотности мощности, определяется взаимная спектральная плотность CD-cj/co) двух переменных х (t) и у (t) как интегральное пре образование Фурье взаимной корреляционной функции, т. е.
Фху И = J Фзд W е “ j “тdx. |
(4.67) |
—СО
Столь же справедливо и обратное преобразование:
|
q>*yW = -^ T S ф эд N ei “т da- |
(4'68) |
|
Эти |
уравнения |
представляют пару преобразований |
Фурье, ко |
торая |
в точности |
аналогична отношению между автокорреляцион |
|
ной функцией и спектральной плотностью мощности. Однако вза имная спектральная плотность не имеет физической интерпретации, аналогичной интерпретации функции спектральной плотности мощ ности.
Поскольку взаимная корреляционная функция не является чет ной, в комплексном экспоненциальном преобразовании уравнений (4.67) и (4.68) нельзя использовать косинусоиду. Следовательно, взаимная спектральная плотность представляет собой комплексную величину, имеющую как действительную, так и мнимую часть (или амплитуду и фазовый угол).
Чтобы проиллюстрировать сущность взаимной спектральной плотности, подставим в уравнение (4.67) выражение (4.52) для вза
имной корреляционной |
функции: |
|
|
||
|
H m - i - |
г |
|
|
|
J |
x{t)y(tf |
+ x)dt е—J штс/т. |
(4.69) |
||
|
2Т |
J |
|
|
|
|
|
|
—т |
|
|
78