Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.10.2024
Просмотров: 119
Скачиваний: 0
Определим усеченные |
переменные /у (t) и / 2 (t) как |
|
||||||
к |
(0 |
= |
^ (О, |
( U | < |
Т); |
Д (О = |
0 , ( К | > Т ) |
(4.70) |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
(t) |
= |
у (t), ( U K |
ту, |
/ 2 (0 = |
о , ( И > Л , |
(4.71) |
|
что обеспечивает возможность применить теперь преобразование Фурье. Если использовать предельный переход при Т оо, то Л 0) и / 3 (t) будут стремиться к х (t) и у (/) соответственно. Подста новка этих усеченных переменных в уравнение (4.69) и изменение порядка интегрирования дают:
ф Ж!/(“ ) = limoo'^ r |
$ f i W # |
J M f + Tj e— |
|
(4.72) |
|||
7’"+ °° |
— Т |
|
— оо |
|
|
|
|
Замена переменной |
g = |
т + |
/ |
|
|
|
(4.73) |
|
|
|
|
||||
приводит к уравнению: |
|
|
|
|
|
|
|
ГT>- OO |
Ш г ) е 1 ^ d t |
W |
, ( g ) |
e - |
i (4.74) |
||
J |
|
J |
|
|
|
|
|
|
— Г |
|
— оо |
|
|
|
|
Пределы первого интеграла могут быть заменены на ± |
оо, |
так как |
|||||
/i (0 = 0 вне пределов интервала ± Т , |
что приводит к сопряжен |
||||||
ному преобразованию Фурье, |
где — со заменено на со. Уравнение |
||||||
(4.74) переходит в уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
ф *„ Н '= П т -^ г IT'i ( |
- m) F2(о)] = lim |
~ |
[7^ (со)F2(со)]. |
(4.75) |
|||
Т —►оо 21 |
|
|
Т —►оо 21 |
|
|
|
|
Используя неравенство (4.61) |
|
|
|
|
|
||
[фзд (т)12= |
I Фзд (т) I2< |
Ф** (0) % у (0), |
|
(4.76) |
|||
можно получить эквивалентное соотношение в частотной области |
|||||||
|Ф * > ) |2< Ф ^ Н Ф У> |
) . |
|
(4*77) |
||||
которое преобразуется в отношение |
|
|
|
|
|
||
|Ф * > ) |2/Ф**(®)Фу> |
) < |
1 . |
. |
(4-78)' |
|||
Это отношение в последующем изложении будет называться коге рентной функцией*.
* Левая часть неравенства (4.78) часто называется в литературе квадра том когерентной функции.—ГГрим. ред.
79
§4.9. Соотношения между входными
ивыходными сигналами
Временная область— автокорреляционные функции. Для уста новления отношения между шумовыми характеристиками входного и выходного сигналов линейной динамической системы рассмотрим линейную систему, имеющую импульсную характеристику h (t) и получающую входной сигнал х (t). Выходной сигнал системы у (t) определяется интегралом свертки:
|
|
|
со |
|
|
|
y(t)= \h(X)x(t-% )dK, |
(4.79) |
|
где К — временная |
переменная интегрирования. |
|
||
Подставив уравнение (4.79) в автокорреляционную функцию |
||||
получим |
Ф!/у (т) = |
E ly (0 у (t + т)], |
(4.80) |
|
|
|
|
|
|
|
|
h (К) х (t |
со |
(4.81) |
Ф #у(т)=£ |
^ |
X)dX $ A ( 6 ) x ( / + T - g ) d | , |
||
— со
где | — переменная интегрирования по времени для второго инте грала. Математическое ожидание дает среднее значение только в отношении переменной t, следовательно, уравнение (4.81) может быть преобразовано:
cpw (x)= |
$ |
J |
h(X)h(t)E[x(t - b)x(t + x— l)]dld\. |
(4.82) |
|
— |
оо — |
оо |
|
|
|
По определению автокорреляционной функции, |
|
||||
Фее* (т — |
I |
+ |
А) — Е [х (t — К) х (t + т — |)] |
(4.83) |
|
и уравнение (4.82) переходит в уравнение: |
|
||||
Фуу (т) = |
|
5 |
^h(K)h(l)cPxx( x - l + X)dldX. |
(4.84) |
|
|
|
— |
оо |
— оо |
|
Это выражение показывает связь между автокорреляционной функ цией входного сигнала х и выходного сигнала у. Хотя это соотно шение представляется сложным, в некоторых ситуациях оно может быть очень полезно.
Рассмотрим тот особый случай, представляющий значительный интерес, когда подкритическая система имеет следующую импульс
ную характеристику: |
|
|
п (i) = |
А ехр (—at), {t > |
0); |
h |
{t) = 0, (t < 0). |
(4.85) |
80
Подстановка уравнения (4.85) в (4.84) дает:
М = $ |
J Л2е - ° <*■+6) «р** (т—1+ A)dl dX. |
(4.86) |
о |
о |
|
Нижний предел интегралов равен нулю, поскольку импульсная ха рактеристика равна нулю при отрицательном времени. Введя за мену переменной
ц = I — X |
(4.87) |
и исключив | из уравнения (4.86), получим:
Фи (т) = |
$ J А2 е~ы е - “ |
ф** (т— (!) ф dA= |
|
|
О о |
|
|
|
оо |
оо |
|
= |
А2^ фд-д. (т— р) е_а^ dji е~ 2al dX — |
|
|
|
о |
о |
|
|
. 2 «■ |
|
|
|
= — |
И')е-а,1Ф- |
(4-88) |
|
о |
|
|
Если на входе системы действует белый шум, автокорреляционная функция этого входного сигнала пропорциональна дельта-функции Дирака, т. е.
Фи (т — р) = ТС 6 (т — р). |
(4.89) |
Поскольку дельта-функция Дирака равна нулю везде, кроме точки т, равного р, можно заменить член ехр (—ар) на выражение ехр (—ат) и вынести его за знак интеграла, т. е.
А 2 к
Фи М |
2а |
|
|
|
|
А 2 К ехр (—ат) = К' ехр (—ат), |
(4.90) |
|
|
2а |
|
поскольку интеграл в выражении (4.90) равен единице по определе нию дельта-функции Дирака (К' — коэффициент пропорциональ ности). Это выражение показывает, что автокорреляционная функ ция выходного сигнала системы, имеющей экспоненциальную им пульсную характеристику, пропорциональна ехр (—ат), из которой легко определить величину а.
Частотная область — спектральные плотности мощности. При рассмотрении связи вход — выход в частотной области, применив
81
к уравнению (4.84) интегральное преобразование Фурье, можно получить много полезных выражений:
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
ф !/г/(с°)= |
$ ФИ!/(г) е - ]штЛ = |
|
|
|||
|
|
|
|
|
----СО |
|
|
|
|
= S |
ОО |
00 |
|
|
|
|
e -jto T ^ |
|
|
5 |
|
J li(X)h(t)(Pxx( T - t + X)dtdk |
(4.91) |
||||||
— оо |
— со |
|
|
|
|
|
|
||
Подставив новую переменную |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
р = |
т — I + |
Я, |
|
(4.92) |
|
и исключив переменную t, |
получим выражение |
|
|
||||||
ФИ » = |
со |
ОО |
со |
|
|
|
|
|
|
S |
S |
5 h(X) h(t)<pxx(\i)e-i* |
dtdXdii = |
||||||
|
--- 00 — ос — оо |
|
|
|
|
|
|||
со |
/г (к) e+ J' aldk |
оо |
|
со |
|
|
|||
= (j |
^ |
/г (£) e_1 |
^ фкд. (р) е_ J |
ф = |
|||||
-00 |
|
|
|
|
-ОО |
--00 |
|
|
|
|
|
= |
н * И |
н И |
фхх (со) = |
IЯ (со) I2 |
(со), |
(4.93) |
|
которое весьма удобно при рассмотрении широкого круга проблем. Из уравнения (4.93) следует, что связь между Ф ^ (со) и Фиу (со) зависит только от амплитуды передаточной функции Я (со) реактора и что никакой информации относительно фазового угла получить нельзя.
Если входной сигнал можно рассматривать как белый шум, т. е. имеющий спектральную плотность мощности, равную постоянной К во всем интервале интересующей нас частотной области, то урав нение (4.93) можно переписать в виде
%«№ = %№ M l 2- |
(4-94) |
Временная область — взаимные корреляционные функции. Рас смотрим взаимную корреляционную функцию между входным сиг налом х (() и выходным сигналом у (t) системы, имеющей импульсную характеристику h (t). Подставив интеграл свертки, определяемый уравнением (4.79), для у (t), получим
<Pxv (*) = Е lx а — т )уш =
оо |
|
=*Е x (t — т) (j h(k)x(t — X)dX |
(4.95) |
— оо
82