Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

оо

Следовательно, J | х (t) | dt не сходится и фурье-преобразование

—ОО

неприменимо.

Эту трудность можно преодолеть, введя новую функцию, назы­ ваемую спектральной плотностью мощности, обозначаемую симво­ лом Ф (со), как фурье-преобразование автокорреляционной функ­

Сущность спектральной плотности мощности может быть пока­

где / (/) определяется как случайная функция, стационарная во времени, равная x(i) в интервале — Т ^ t ^ Т и нулю для 11\ > > Т, как показано на рис. 4.1 (а и б), т. е.

— оо

преобразование F (со). Порядок интегрирования и предельный пере­ ход могут быть переставлены местами, так как в этих двух опера­ циях участвуют различные переменные. Следовательно,

66

в уравнение (4.18) и разбив его на два интеграла, получим

где звездочкой помечено сопряженное значение. Равенство (4.20) дает другое определение функции спектральной плотности мощности.

Рис. 4.1. Случайная переменная x(t) (а) и усеченная слу­ чайная переменная f(t) (б).

Величины Фжа; (со) и cpxx (т) фактически содержат одну и ту же информацию относительно статистических свойств х (t). Кроме того, преобразование уравнения (4.15) является обратимым*, так как Фхх (со) -> 0 при со ± 00 , и автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности представляют парное фурьепреобразование, т. е.

* Как будет рассмотрено ниже, исключение составляет физически не­ реализуемый случай белого шума.

Эти уравнения известны как соотношения Винера — Хинчина, названные так в честь двух математиков, которые первыми указали на эквивалентность автокорреляционной функции и спектральной плотности. Поскольку ср.™ (т) и Фхх (со) симметричны, отношения Винера — Хинчина можно выразить, используя косинусоидальное преобразование. В этом случае уравнения (4.21) и (4.22) примут вид:

Удачной аналогией, которая действительно приводит к понятию спектральной плотности мощности применительно к Фхх (со), яв­ ляется представление х (t) в качестве напряжения, прилагаемого к сопротивлению в 1 ом. Тогда ф$. является средней рассеиваемой мощностью, а Фм (со) — средней мощностью на единичную часто­ ту, вычисленную для данной частоты. Такое представление может

Это значит, что среднеквадратическое значение х((), которое, как было показано равенством (4.8), эквивалентно cpxx (0), определяется площадью под кривой спектральной плотности мощности Фхх (/).

§4.5. Специальные автокорреляционные функции

испектральные пло'рности мощности

Имеется ряд автокорреляционных функций и спектральных плотностей мощности, которые неоднократно встречаются в практи­ ческих ситуациях, поэтому знать эти специальные случаи важно для понимания проводимых измерений. Кроме того, автокорреля­ ционные функции и спектральные плотности мощности могут быть представлены как линейные функции, и применен принцип супер-

68

позиции, если переменные независимы и имеют нулевые средние значения:

и все переменные Xi (t) независимы. Преобразование Фурье урав­ нения (4.27) дает эквивалентное выражение в частотной области:

Рис. 4.2. Графики функций ср1Х (т) и Ф** (со) для постоянной

Следовательно, появляется возможность определять переменную как сумму нескольких простых переменных, находя индивидуаль­ ные компоненты автокорреляционной функции или спектральной плотности мощности или вместе и то и другое.

Постоянная. Постоянная может рассматриваться как переменная, которая не имеет частотной составляющей кроме со = 0 и всюду кор­ релирует сама с собой. Если константа имеет значение (амплитуду) а, то

На рис. 4.2. изображены функции ср** (т) и Фжж (со) для постоян­ ной.

Синусоида. Для синусоиды

69

Поскольку рассматривается процесс стационарный во времени, положение начала произвольно. Следовательно, наличие фазового угла в уравнении (4.32), даже равного 90° (что может изменить си­ нус на косинус), не повлияет на результаты, представляемые урав­ нением (4.33). Важность этого процесса состоит в том, что амплитуда автокорреляции не стремится к нулю с возрастанием т, как в случае непериодических изменений. Следовательно, используя большие значения т, можно установить наличие периодических составляю­ щих в шуме.

Спектральная плотность мощности для синусоиды должна вы­ ражаться, как это интуитивно чувствуется, дельта-функциями Ди­ рака, существующими при ± ® 0. Это легко показать:

Автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности синусоиды приведены на рис. 4.3.

Белый шум. Белый шум определяется как случайная перемен­ ная, имеющая постоянную функцию спектральной плотности мощ­ ности для частот от минус бесконечности до плюс бесконечности. Такая функция должна содержать все частоты в равных количест­ вах, но, поскольку это подразумевает бесконечную мощность, та­ кой функции не существует. Термин белый шум появился по анало­ гии с термином белый свет, который имеет постоянную спектраль­ ную плотность мощности в широком диапазоне частот. Рассмотрим случай, когда спектральная плотность мощности имеет постоянную амплитуду а, т. е.

70

Автокорреляционная функция при этом имеет вид

оо

ср. (т) = С cos on cl(£>= ад (т), (4.36) 2я J

— оо

что означает, что функция х (t) полностью некоррелирована, кроме точки т = 0, т. е. функция полностью случайна. Графики функций Фд-а; (т) и Фж* (ю) приведены на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Графики функций фХ1 (т) и Ф** (со) для бе­ лого шума.

а. Низкочастотный белый шум. Во многих практических слу­ чаях понятие «белый шум» используется, чтобы показать, что пере­ менная имеет постоянную спектральную плотность мощности во всем диапазоне интересующих частот. Если (со) постоянна в интер­ вале частот от нуля до точки излома частотной характеристики при­ меняемой системы, то предположение о белом шуме является обыч­ ным приемом, упрощающим математическую обработку. В конкрет­ ном случае, когда Ф** (со) постоянна вплоть до со0, т. е.

Графики фжа; (т) и Фхл; (со) для низкочастотного белого шума пред­ ставлены на рис. 4.5.

б. Белый шум в заданной полосе пропускания. Обычно сущест­ вует как верхний, так и нижний предел области частот, имеющихся в сигнале. Нижний предел может обусловливаться связью системы по переменному току, тогда как верхний предел существует во всех физически реализуемых системах. Кроме того, белый шум в преде­ лах полосы пропускания может быть получен при прохождении широкополосного случайного шума через узкополосный фильтр.

71