Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

Поскольку т — переменная интегрирования, то, введя замену в пер­ вом интеграле

и меняя пределы интегрирования в первом интеграле, можно по­ лучить, что

Подстановка соотношения Эйлера для комплексной экспоненты

из которого могут быть выделены действительная и мнимая части:

Из этих выражений видно, что Сху (со) — действительная четная функция частоты, в то время как Qxy (со) — действительная нечет­ ная функция частоты. Следовательно,

88

Поскольку функция GX1J (со) комплексна, она может быть записана в полярных координатах:

выражены через мнимую и вещественную составляющие, а именно:

В практике используются два приема для измерения взаимной спектральной плотности. Первый заключается в измерении взаим­ ных корреляционных функций срЛ.у (т) и (рух (т), расчете действитель­ ной и мнимой составляющих по уравнениям (4.118), (4.119) и опре­ делении взаимного спектра и его фазового угла по уравнениям (4.123) и (4.124). Другой метод заключается в непосредственном из­ мерении вещественной и мнимой составляющих с помощью частотно­ полосного оборудования и определении амплитуды и фазы взаим­ ного спектра по уравнениям (4.123) и (4.124).

Взаимные корреляционные функции могут быть рассчитаны по

89

Используя равенства (4.120) и (4.121), соотношение (4.125) можно упростить и привести к виду:

оо

Фч, (т) = ^ J fc -^/ И cos MT+Q*» И sin ИТ1da- (4.126)

о

Связь между входным и выходным сигналами. Связь между вход­ ным и выходным сигналами, описанная в § 4.9, может быть выражена через односторонние спектральные плотности. Уравнение (4.93), включающее спектральную плотность мощности, записывается при этом следующим образом:

а уравнение (4.100), включающее взаимную спектральную плотность, как

§4.12. Зависимость корреляционных функций

испектральных плотностей

от среднего значения

Автокорреляционная функция. Рассмотрим случайную перемен­ ную, имеющую среднее значение р*. Автокорреляция определяется в соответствии с выражением

и показана на рис. 4.12. График автокорреляционной функции сим­ метричен относительно вертикальной оси, а максимальное значение, равное среднеквадратическому значению находится при т = = О..При стремлении т к ± оо срг;с (т) стремится к р;, т. е. автокорре­ ляционная функция смещается по вертикали на величину р | из-за того, что х (t) имеет среднее значение рж, что и показано на рис. 4.12. Поскольку случайная переменная x(t), имеющая среднее значение р, может рассматриваться как сумма

где х' (t) — та же переменная с нулевым средним значением, авто­ корреляционная функция х (t) может быть выражена как сумма ав­

Легко показать, что дисперсия а® равна разности между значением автокорреляционной функции при т = 0 и смещением горизон­ тальной оси.

90

Спектральная плотность мощности. Двусторонняя спектраль­ ная плотность мощности может быть получена с помощью преобра­ зования Фурье автокорреляционной функции. Применив преобра­ зование Фурье к уравнению (4.131), получим:

т. е. наличие среднего значения, отличного от нуля, добавляет дель­ та-функцию Дирака в начале координат, как показано на рис. 4.13.

Рис. 4.12. Автокорреляционная функция случайной переменной, имеющей среднее значение

Iх* * 0.

Рассмотрим связь между односторонней и двусторонней спек­ тральной плотностью мощности, определяемую уравнением (4.101):

ОО00

где обозначение нижнего предела символом О- означает, что нижний предел должен стремиться к нулю снизу, для того чтобы включить дельта-функцию Дирака, находящуюся в начале координат. Это согласуется с уравнениями

и показано на рис. 4.13.

Из вышеизложенного следует, что графики автокорреляционной функции и спектральной плотности мощности дают одну и ту же ин­ формацию и различаются только видом. Сравнение значений pj и ах по этим двум графикам дает полное соответствие при согласован­ ности преобразования. Исходя из определения спектральной плот­ ности мощности как квадрата средней амплитуды на единицу ча­ стоты, можно показать, что среднеквадратическое значение полу­

91

чается путем определения площади под кривой спектральной плот­ ности мощности от нуля до бесконечности, т. е.

Если в это интегрирование не включать начало координат или если среднее значение равно нулю, площадь под кривой равна диспер­ сии Ох.

(и>0)

(и=01 1й]<01

Рис. 4.13. Спектральная плотность мощности пере­ менной, имеющей среднее значение

Щ2 Ф0.

Рис. 4.14. Взаимная корреляционная функция двух переменных, каждая из которыхимеет свое среднее значение.

Взаимная корреляционная функция. В случае взаимной корре­ ляции наличие постоянных составляющих рж и р ц в переменных х (t) и у (t) приводит к кривой взаимной корреляции, показанной на рис. 4.14, т. е. взаимная корреляционная функция смещается по вертикали на величину р^ру. Математически это выражается как

где х' и у' —■переменные со средними значениями, равными нулю. Взаимная спектральная плотность. Двусторонняя спектраль­

ная плотность определяется с помощью преобразования Фурье урав­ нения (4.136):

92