Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

а односторонняя спектральная плотность с помощью уравнения

(4.103):

Графики этих функций представлены на рис. 4.15.

Рис. 4.15. Взаимная спектральная плотность двух переменных для случая, когда обе име­ ют средние значения.

§ 4.13. Когерентные функции

Наличие постороннего шума или других входных переменных может отрицательно влиять на качество измерений. Другими факто­ рами, ухудшающими измерения, являются отклонения от предпола­ гаемой линейности системы и конечное время измерения. Обычным показателем качества измерения для отдельной системы вход — выход является когерентная функция, которая может рассматри­ ваться как показатель внутренней согласованности измерений. Рассмотрим динамическую систему без учета каких-либо практи­ ческих ограничений в частотной области, в которой могут проводить­ ся измерения. В § 4.11 были получены соотношения, связывающие сигналы вход — выход:

Индексы р и с введены для указания того, что амплитуда передаточ­ ной функции определяется при использовании либо спектральной плотности мощности, либо взаимной спектральной плотности.

93

Определим новую переменную у2 (со), называемую когерентной функцией, как отношение квадратов амплитуд передаточной функ­ ции, которые измеряются этими двумя способами, т. е.

Когерентная функция может быть также определена через дву­ сторонние спектральные плотности:

Если все предположения, использованные при выводе уравнений (4.139) и (4.140), справедливы, то когерентная функция равна еди­ нице. С помощью неравенства (4.78) можно показать, что когерент­ ная функция удовлетворяет неравенству

т. е. когерентная функция всегда меньше или равна единице. Когерентная функция может иногда рассматриваться как мера

линейности связи между входным и выходным сигналами. Если ко­ герентная функция меньше единицы, одной из возможных причин (но необязательно единственной причиной или даже наиболее важ­ ной) является неполностью линейная зависимость между входным и выходным сигналами. В сложных системах для двух переменных возможна ситуация, когда невозможно установить ошибочную вза­ имную коррелированность, что и выявляется с помощью значения когерентности вблизи нуля. В практических случаях иногда значение когерентной функции получается больше единицы, однако это обыч­ но означает неточность в измерениях, сбой в вычислительной ма­ шине и тому подобное.

§4.14. Корреляция при использовании двух детекторов

иизмерение спектральной плотности

Взаимная корреляция выходных сигналов двух детекторов. Рас­ смотрим систему, показанную на рис. 4.16, где Н (со) символизирует ядерный реактор, в который поступает возмущение i (/). Выход­ ной сигнал—нейтронная плотность—измеряется двумя регистриру­ ющими системами, расположенными рядом, с передаточными функ­ циями # ! (со) и # 2 (со). Выходные сигналы детекторов ух (t) и уг (t) искажаются детекторными шумами (/) и т 2 (() соответственно. Применив интеграл свертки, получим, что выходной сигнал реак­ тора должен описываться выражением

94

С помощью интеграла свертки и уравнений (4.145) и (4.146) выход­ ные сигналы ух (t) и у 2 (t) описываются следующими выражениями:

Рис. 4.16. Структурная схема корреляционного экспе­ римента с двумя детекторами, имеющими собственные шумы.

95

Если подставить соотношения (4.147) и (4.148) в уравнение (4.149), используя соответствующие определения корреляционной функции, то получим

Поскольку шумы тх (() и nil (0 по предположению не коррели­ руют друг с другом и с входным сигналом г (/), взаимные корре­ ляционные функции cp„,tm (т), ср„м- (т), (pnuJ (т) равны нулю и пер­ вые три члена в (4.150) исчезнут. При этом получим:

= 5555 /11 (И-) h 2 (l) h (X) h ft) ф „ (т + р - | + X—Ti) dp dl dX ф . (4.151)

Это выражение настолько сложно, что использовать его целесооб­ разно только в некоторых специальных случаях. Если рассматри­ ваются две идентичные детекторные системы, т. е.

то, введя замену переменных

— 00 — со

96

Для входного сигнала, имеющего характер белого шума,

ко при т = 0 . Предположим, что импульсные характеристики h(t) и h± (t) имеют вид:

тегрирования, в которых знаки величин должны быть отрицатель­ ными, как показано на рис. 4.17, можно получить, что

где /Сх и К г— постоянные. Поэтому взаимная корреляционная функ­ ция выходных сигналов двух детекторов, когда импульсные харак­

теристики системы и аппаратуры экспоненциальны, представляет собой разность двух экспонент, одна из которых имеет характери­ стическую постоянную реакторной системы а , а другая —характе­ ристическую постоянную аппаратуры р. Если

т. е. если аппаратура имеет широкий диапазон пропускания частот (что является разумным предположением, если надлежащим об­ разом измерять передаточную функцию системы), эксперименталь­ ные данные могут быть обработаны с помощью уравнения (4.164) и метода наименьших квадратов, что позволяет вычислить постоян­ ные а и р.

Если частотная характеристика аппаратуры постоянна во всем диапазоне частот, представляющем интерес, то во всех случаях для

98