Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

оо

которое справедливо для коррелированных входных сигналов. Если входные сигналы взаимно не коррелируют и имеют средние значе­ ния, равные нулю, уравнение (4.196) переходит в равенство

которое представляет свертку импульсной характеристики i-ro входного сигнала. Это значит, что, если входные сигналы некоррелированы, взаимная корреляция между любым выбранным вход­ ным сигналом и выходным сигналом будет такой же, как если бы данный входной сигнал был единственным в системе.

Взаимная спектральная плотность. Вывод выражения для вза­ имной спектральной плотности аналогичен выводу соотношений для спектральной плотности мощности. Взаимная спектральная плот­ ность между любым входным сигналом xt и выходным сигналом у находится с помощью преобразования Фурье взаимной корреля­ ционной функции, определяемой уравнением (4.196), т. е.

оо

и перегруппировав члены, получим

Ф |» И = 2 1 J hk {X)e-№-dX J Ф№(и-)е-1“»*ф =

--- ОО — оо

которое справедливо для коррелируемых входных сигналов. Если входные сигналы не коррелируют и имеют средние значения, рав­ ные нулю, уравнение (4.200) можно упростить:

104

Зависимости, определяемые уравнениями (4.197) и (4.201), озна­ чают, что, если входные сигналы являются взаимно независимыми, взаимная корреляция и взаимная спектральная плотность между данным входным сигналом и выходным сигналом определяются точ­ но так же, как если бы все другие входные сигналы были бы равны нулю.

В математическом смысле, однако, как будет показано ниже, наличие других входных сигналов, так же как и присутствие посто­ роннего шума, приводит к интерференции при измерении передаточ­ ной функции Hi (со). В результате этой интерференции уменьшается точность измерений.

Рис. 4.19. Структурная схема системы с двумя вхо­ дами.

Частный случай системы с двумя входными сигналами. Линей­ ные системы с двумя входами.очень часто используются в практи­ ческих случаях и являются удачной иллюстрацией соотношений, полученных в предыдущих параграфах. Рассмотрим систему с двумя входами, представленную на рис. 4.19. Если применительно к этой системе переписать уравнение (4.200), то получим

Если исключить случай, когда хх и хг заведомо коррелируют (т. е. когда существует функциональная зависимость между хх и л;2), то

можно решить уравнения (4.202) и (4.203) относительно Ях (со) и Я 2 (со):

105

Для случая, когда корреляции между лу и х2 нет и оба средних зна­ чения равны нулю, эти уравнения сводятся к обычным соотноше­ ниям:

ствует определенная связь, как показано на рис. 4.20, рассмотрим функциональную зависимость вида:

т. е. х± и л' 2 являются, соответственно, входным и выходным сигна­ лами системы, имеющей передаточную функцию Н3(со). Это просто

Рис. 4.20. Структурная схема системы с раз­ двоением сигнала.

означает, что хг в действительности приходит двумя путями к вы­ ходному сигналу у. Единая передаточная функция Н (со), устанав­ ливающая связь выходного сигнала с входным, имеет вид:

Односторонние спектральные плотности. Хотя выражения для многоканальных по входу линейных систем были получены с исполь­ зованием двусторонних спектральных плотностей Фц ( со) и Фгу (со), их можно заменить физически реализуемыми односторонними спект­ ральными плотностями Gn (со) и Gn (со) соответственно, для поло­ жительных величин со сократив двойку как общий множитель. Сле­ довательно, уравнения (4.193) и (4.200) в общем случае, когда вход­ ные переменные могут быть коррелированными, имеют вид:

£= 1 k = \

106

и

Последние два уравнения можно решить относительно передаточ­ ных функций Я Д со) и Я2(со):

В случае, если между двумя входными сигналами нет корреляции и оба средних значения равны нулю, уравнения (4.215) и (4.216)

Для линейной системы с двумя входами, когда входные сигналы могут быть коррелированными, может быть получена обычная коге­ рентная функция:

где С1г/ (со) и Gyy (со) определяются уравнениями (4.213) и (4.212) соответственно. Подобное выражение может быть найдено для Т\у (со) путем замены индекса 1 на 2 в уравнении (4.219). В особом случае, когда входные переменные хх (/) и хг (f) имеют нулевые средние значения и не коррелируют, т. е.

107

уравнение (4.219) перепишется в виде:

У1у N = I Я , (со)Р Gn (со)/| Ях ((0)|« Gu (со) + 1Я2 (со) | 2 G22 (со). (4.221)

Подобным образом

(®) = | Я 2 ((о)|* G22 ( со) / | Я, ( со) Р Gu ( со) + 1Я2 (со)Р G22 (со). (4.222)

Сложение уравнений (4.221) и (4.222) дает

что указывает на то, что каждая из этих когерентных функций долж­ на быть меньше единицы, если другая не равна нулю.

Условные спектры. Сравнение уравнений (4.215) — (4.218) показывает, что выражение в квадратных скобках уравнений (4.215) и (4.216) представляют собой поправочные коэффициенты, которые необходимо учитывать, если имеется некоторая корреляция между двумя входными сигналами. Кроме того, очевидно, что знаменатели этих коэффициентов одинаковы и равны:

где у 12 (со) — обычная когерентная функция. Числители и знамена­

(иногда называемыми остаточными спектрами), т. е. числитель урав­ нения (4.215) представляет взаимную спектральную плотность между переменными х1 (t) и у (t) при условии исключения влияния

’G22.i (со)

Парциальные когерентные функции. Для многоканальной по входу системы с коррелированными входными сигналами обычная когерентная функция не является показателем качества измерения, так как корреляция между любыми двумя входными сигналами вли-г яет (уменьшает или увеличивает, в зависимости от конкретной си­ туации) на обычную когерентную функцию между одним из входных

108