Файл: Уриг, Р. Статистические методы в физике ядерных реакторов.pdf

цессами, которые в свою очередь связаны с конкурирующими про­ цессами, происходящими при делении. Например, рассмотрим вы­ ход нейтронов при делении 235U. Вероятность выхода vp нейтронов, где vp равно целому числу от нуля до шести, и соответствующая функция распределения вероятности приводятся в табл. 3.1.

График распределения вероятности и функции распределения вероятности представлен на рис. 3.1. Из рис. 3.1, а следует, что рас­ пределение вероятности для vp не является распределением Пуас­ сона, хотя огибающая этих дискретных величин имеет колоколооб­ разную форму. Отклонение распределения vp от пуассоновского (или биномиального) распределения является одной из его отличи­ тельных и полезных характеристик.

Относительная ширина Dx распределения вероятности опреде­ ляется как

Дайвеном и др. [11] было показано, что относительная ширина Dv, иногда называемая параметром Дайвена, соответствует нормализо­ ванному среднему значению для числа мгновенных нейтронов на деление:

< ^ > - < v

(3.5)

В литературе обычно используется последняя система обозначений. Используя значения, приведенные в табл. 3.1, для 235U, можно получить:

A, = (V 2—vp)/v2= (7,33 — 2,47)/(2,47) 2 = 0,796,

что хорошо согласуется с значением 0,795 ± 0,007, полученным Дайвеном и др. [11].

32

Соответствующие значения для других делящихся изотопов равны: для 233U 0,786 ± 0,013; для 239Ри 0,815 ± 0,017; для

24ipu 0,807.± 0,008. Эти значения существенно отличаются от еди­ ницы, которой равны величины Dx для биномиального распреде­ ления и распределения Пуассона. (Легко показать, подставляя урав­ нение (2.36) в уравнение (3.4), что для этих распределений Dx = 1).

Рис. 3.1. Распределение вероятности (а) и функ­ ция распределения вероятности (б) чис­ ла мгновенных нейтронов, образующихся при делении 235U.

Другую форму относительной ширины можно получить вычислением числителя, используя дискретные вероятности

со ОО ос

точно vp нейтронов (vp. принимает целочисленные значения от 0

до 6 , описывая число мгновенных нейтронов, испускаемых при дан­ ном акте деления). Следовательно, уравнение (3.5) может быть за­ писано:

Vp

§ 3.3. Метод росси-альфа

Метод росси-альфа был впервые предложен Росси, а ста­ тистическая теория нейтронных цепочек эвристически развита Фейн­ маном, Хофманом и Сервером [2]. Их выводы излагаются в этой гла­ ве. Более строгие математические выводы выполнены Матесом [12], Боргвальдом и Стегеманом [13], Бабала [5] и Айияма [14]. Этот ме­ тод первоначально был разработан для реакторных систем на быст­ рых нейтронах, где число нейтронных цепочек, существующих в

Рис. 3.2. Структурная схема анализатора Орндоф-

фа [1].

ядерной системе, в любой момент невелико и распад нейтронной це­ почки происходит очень быстро из-за очень короткого времени жиз­ ни нейтрона. Последние модификации этого метода, с применением другой аппаратуры, позволяют использовать его для реакторных систем на тепловых нейтронах, где цепочки значительно перекры­ ваются и их распад является более медленным из-за большего вре­ мени жизни нейтрона.

В первоначальных экспериментах росси-альфа Орндоффом была использована счетная система, соответствующая той, которая пред­ ставлена на рис. 3.2. Система может работать с одним детектором, обеспечивающим два входа 1 и 2. Могут быть использованы и раз­ дельные детекторы, так как теоретический вывод зависит только от регистраций, связанных с цепочкой распада. Использование двух

34

детекторов делает менее критической проблему синхронизации ап­ паратуры. Принцип заключается в определении вероятности того, что нейтрон будет зарегистрирован во временном интервале Д спу­ стя время t вслед за регистрацией нейтрона при t = 0 , в то время как исходное деление произошло при t0. Если рассматривать умно­ жение для подкритической размножающей системы, данное Мэрреем [9] только для мгновенных нейтронов, то число мгновенных нейтронов в системе определяется как

где S — мощность нейтронного источника в реакторе. Число мгно­ венных нейтронов и, следовательно, число нейтронных цепочек в си­ стеме обратно пропорциональны а при данной мощности источ­ ника S. В быстрой сборке при очень слабом источнике нейтронов S вполне возможно, что все нейтроны в околокритической системе бу­ дут членами единичной нейтронной цепочки. Следовательно, чув­ ствительный детектор часто может регистрировать два или более нейтронов одной и той же цепочки.

Теоретическое рассмотрение. Если первый счет нейтрона данной цепочки происходит в момент t = 0 , то имеется определенная ве­ роятность того, что детектор спустя время t зарегистрирует либо случайный нейтрон (т. е один из нейтронов другой цепочки), либо родственный (т. е. один из нейтронов той же цепочки, отсчет которой был произведен в момент t = 0). Вероятность регистрации случай­ ного нейтрона равна Л А, где А — средняя скорость счета детекто­ ра, а А — временной интервал измерения, т. е. временная ширина одного канала анализатора. Поскольку число мгновенных нейтро­ нов в среднем должно уменьшаться экспоненциально, вероятность фиксации родственного нейтрона уменьшается как ехр (—at). От­ сюда общая вероятность регистрации нейтрона (как случайного, так и родственного) во временном интервале А определяется как

где коэффициент В, выведенный Фейнманом, Хофманом и Серве­ ром [2 ] с участием ОрндоффаШ, определяется следующим образом. Вероятность того, что деление произойдет в момент t0, в интервале Д0 или dt0 есть:

где F — средняя скорость делений в системе. Вероятность регистра­ ции в интервале Аг в мрмент tlt где tx > t0, происходящей вследст­ вие деления в момент t0, равна:

где е — эффективность детектора в отсчетах на деление, vp — дей­ ствительное число мгновенных нейтронов, испускаемых при деле­ нии в момент /0; v —скорость тепловых нейтронов; Hj,—макроско-

пическое сечение деления; уЕу— средняя скорость делений на еди­ ничную нейтронную плотность.

Подобным образом определяется вероятность отсчета родствен­

где коэффициент (vp — 1) учитывает тот факт, что нейтрон, зареги­ стрированный в момент 4. выбыл из цепочки деления. Эти три ве­ роятности Fdt0, р (ti)Ax, р {t*)A2, будучи независимыми, должны быть перемножены, чтобы можно было получить совместную вероятность деления в момент tQс последующим отсчетом в интервале Ахв момент tx и другим отсчетом в интервале Д2 в момент t2, при которой детек­ тируемые нейтроны являются частью цепочки, возникшей при де­ лении в момент /0. Следовательно, полная вероятность предшеству­ ющего ряда происходящих событий н обусловливающих связанные по цепочке отсчеты является интегралом от произведения трех вероятностей по всем моментам t0 (от — оо до ti), в которые могло произойти исходное деление, т. е.

<.

рс (ti, t2) Дi Д2 === ^ Рit'd А1 Р U2)^ 2 Fdt0 ==

осреднение распределения мгновенных нейтронов, испускаемых на деление, определяемое уравнением (3.6). Уравнение (3.13) можно написать в более простой форме, используя тождество

Вероятность случайной пары отсчетов в интервалах Д2 и Д2 опре­ деляется как

36

Таким образом, полная вероятность пары отсчетов в интервалах Ах и Д2 представляет собой сумму случайной и связанной по цепочке вероятностей:

где FeA — вероятность того, что отсчет произойдет в интервале Д, и Dv — параметр Дайвена, определяемый уравнением (3.7). Если положить FeAx равным 1, тем самым требуя, чтобы в момент txпрои­ зошел отсчет, то в таком случае FeA2представляет вероятность слу­ чайного отсчета в интервале Д2, а второй член в квадратных скоб­ ках уравнения (3.17) представляет вероятность связанного по це­ почке отсчета в момент t2, следующего за отсчетом в момент tx.

Это заключение может быть распространено для определения вероятности связанного по цепочке отсчета, происходящего через t, вслед за отсчетом в момент t = 0 :

Орндофф показал, что это выражение при использовании детек­ тора из делящегося вещества должно быть уточнено для вероятности отсчета, производимого в момент t, в результате деления и про­

где б — эффективное число нейтронов, образующихся при делении и детектируемых в момент t = 0. Поскольку б зависит от характе­ ристики и места размещения детектора, она должна оцениваться для каждой экспериментальной установки. Обычно эта поправка мала (около 1 %) и ею часто пренебрегают.

37