Для нормального распределения показатель асимметрии равен 0.
Эксцесс |
определяется как |
|
|
N |
|
|
с к = 2 |
(10.55) |
|
I = 1 |
|
и для нормального распределения равен 3.
Плотность вероятности и функция распределения. Плотность
вероятности р (х) есть |
|
р (х) = АР (х)/Дх, |
(10.56) |
где Р (х) — функция распределения вероятности |
и Ах — ширина |
классифицируемого интервала. |
|
Число наблюдений и количество данных в каждом классифици руемом интервале рассчитывается следующим образом:
1. |
Из наблюдаемой функции / (t) рассчитывается максимальная |
амплитуда (R2) и минимальная |
амплитуда (# х). |
|
2. |
Оценивается К — число |
классифицируемых |
интервалов по |
выражению |
|
|
|
К = |
In А7Дf t, |
(10.57) |
где 1/А — скорость выборки; f t — наивысшая частотная составляю
щая |
в наблюдаемой |
функции |
х {t)\ 0 < |
^ |
/ с и / с — частота |
Найквиста, равная |
/ с = |
1/2А. |
|
(10.58) |
|
|
|
3. |
Рассчитывается длина классифицируемого интервала С: |
откуда |
С — (Я2 — RiУК, |
|
(10.59) |
|
к |
|
|
|
|
|
|
Ri + iC. |
|
|
|
|
х ,= 2 |
|
(10.60) |
|
|
i |
= 1 |
|
|
|
4. |
Табулируется |
число наблюдений |
и |
количество данных, |
в каждом классифицируемом интервале X t. |
Предполагается, что |
функция распределения вероятности равна |
|
|
|
|
Р (х) = |
X |
p(x)dx. |
|
|
|
|
§ |
|
(10.61) |
—оо
Вдискретной форме функция выражается так:
к
/ = 1
где фг — количество наблюдений на классифицируемый интервал. .
Гауссовы функции вероятности. Гауссова (нормальная) функция плотности вероятности имеет вид
|
|
* « * > .- - г т |
к |
' ч - Ь |
- ^ ] . |
<10-63> |
где |
Xi — среднее |
значение |
по |
классифицируемому |
интервалу; |
х — средняя |
расчетная величина по |
наблюдаемым |
популяциям; |
S — среднеквадратическое отклонение; |
i = 1, 2, 3, |
... К. |
|
Гауссова функция распределения вероятности определяется как |
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
G ( x ) = г2=g1 ( * ) i . |
(10.64) |
где g (x)i — количество наблюдений на |
классифицируемый интер |
вал |
из уравнения |
(10.63): |
|
Функция плотности |
вероятности |
|
Функции |
вероятности Рэлея. |
Рэлея представлена выражением: |
|
|
|
|
|
|
г Ш = ^ е х р |
|
|
(10.65) |
где xt — среднее значение по каждому классифицируемому интер валу и i = 1, 2, 3, ... К-
Функция распределения вероятности Рэлея имеет вид |
|
R(x)= 2 r(x)i, |
|
|
0 0 . 6 6 ) |
*=i |
|
|
|
где К :— количество классифицируемых |
интервалов |
и |
г (x)i — |
функция плотности вероятности Рэлея. |
«хи-квадрат» |
(х2) |
исполь |
Измерения «хи-квадрат». Измерения |
зуются для определения «добротности гауссовой кривой». Эта ве личина определяется как
к |
(Oi—et)2 |
(10.67) |
2 |
---------------- t |
ei |
|
I= 1 |
|
|
где Oi —• измеренная плотность вероятности; ег — ожидаемая гаус сова плотность каждого классифицируемого интервала; К — число классифицируемых интервалов.
Нет никаких оснований считать .аномальным, если %2 меньше или равно ожидаемому табличному значению %2 в 5% точек. Если X2 больше ожидаемого табличного значения в 5% точек, распреде ление, возможно, не является нормальным.
Исследование стационарности. Для исследования стационар ности рассмотрим запись выборки длиной Т, как показано на. рис. 10.16, полученную из случайной записи х (t). Запись длиной Т
делится на много приращений, обозначенных Ak, где k = 1, 2, 3, ...
Дисперсия оценивается по следующей формуле:
« = 2 |
- $ — |
**• |
<10-68) |
i —l |
|
|
|
где N — количество выборок данных |
за временные интервалы А; |
х — величина амплитуды х (t)\ k |
= 1, 2, 3, |
К — общее коли |
чество подразделений записи. |
|
|
|
Затем рассчитывается нормированная дисперсия этих дисперсий из уравнения
Ожидаемая нормированная дисперсия для чисто случайной и ста ционарной переменной равна
5 2 = |
1 / Г Д / , |
( 1 0 . 7 0 ) |
где Т — интервал времени и А/ — общая ширина полосы частот записи.
§ 10.6. Представление в виде рядов Фурье (классический метод)
Как было указано в § 6.5, периодические переменные могут быть представлены во временной области рядами Фурье:
о00
x(t) — |
1----- 2 |
(anCosmo^ + bn3*11^ ! ^ ) ’ |
(10.71) |
|
П=1 |
|
где коэффициенты ап и Ьп определяются как |
|
|
|
р |
|
|
ап = |
^ x(t) cos a>n tdt, |
(10.72) |
|
|
о |
|
|
|
р |
|
|
bn = |
j х (t) sin con tdt. |
(10.73) |
|
|
о |
|
Здесь P — период переменной |
и со„ — п-я гармоника |
основной |
частоты соъ определяемая как |
|
|
оп = пщ = |
2яnfx = 2пп/Р. |
(10.74) |
Если переменная на Д сек значений, точек хг:
х (t) |
дискретна и имеет N равноудаленных |
х (/) |
можно представить последовательностью |
Xi = X (tA), (t = 1, 2, 3....... |
N). |
(10.75) |
Это, конечно, справедливо только в том случае, если принятая скорость выборки fs соответствует достаточно высокой частоте среза / с, чтобы избежать наложения частот, т. е.
Предположим, что
Поскольку основная
|
fs > |
2 /, |
|
О«
|
II
|
<
|
5? II
|
частота |
равна |
наивысшая гармоника, которая присутствует в данных при исполь зовании N выборок, равна
_ Лиакс 1/2Д N
(10.79)
Следовательно, окончательный вид ряда Фурье по уравнению (10.71), проходящего через N точек, содержит только N/2 гармоник:
|
х (гА) |
Oq |
2 |
апcos |
2яni |
bnsin 2nni |
)■ |
(10.80) |
|
~NA |
NA |
|
|
|
N |
N |
|
|
|
|
|
|
где ап и Ьп, определенные по уравнениям (10.72) и (10.73), можно оценить интегрированием по формуле трапеций. Результат полу чается равным
ап |
|
X i COS |
2 nni |
(10.81) |
2 |
XN |
|
|
N |
|
|
|
N — 1 |
2nni |
(10.82) |
|
A |
= A 2 * i sin |
|
. N ' |
|
|
|
|
j= i |
|
|
Для частных случаев i = 0 и i = N члены, содержащие косинусы, равны 1, а члены с синусами равны 0. Заметим, что первый член в_ уравнении (10.80), а0ША, представляет собой среднее значение
х, которое равно нулю, если из данных исключена регулярная составляющая (включая стационарный член). Коэффициенты ап и Ъп рассчитываются на основе данных по одному периоду и затем подставляются в уравнение (10.80) для представления в виде ряда Фурье.
Уравнение (10.80) может быть упрощено до следующего вида:
9 |
N 1 2 |
(10.83) |
|
|
|
п ~ \ |
|
|
N |
|
= Va\ + b \= |
2 хге - 2"^/". |
(10.84) |
|
»= 1 |
|
Эти два уравнения составляют пару преобразования Фурье. Случайные величины можно также представить рядами Фурье,
если предположить, что они периодические с периодом, равным длине записи. Это очень важное предположение, так как бесконечно длинных записей, требуемых для интегрального представления Фурье, не существует.
§10.7. Функции корреляции
испектральные плотности
Вычисления в цифровой форме корреляционных функций, и спектральных плотностей из временных выборок данных просты и не создают математических проблем. Принципиальным вопросом является лишь подбор соответствующих значений скорости выбор ки, количества задержек, частотного интервала и полосы пропуска ния, чтобы получать имеющие смысл и правильные результаты, ко'горые могут быть полезными при оценке характеристик иссле дуемой системы.
Автокорреляционные и взаимные корреляционные функции. Рассмотрим сначала взаимную корреляцию двух переменных (авто корреляционная функция которых является частным случаем, когда переменные одинаковы). В дискретной форме взаимная корреля ционная функция имеет вид
Ф*в (/гА) = |
2 |
х (/Д) У(/А + М ) = |
|
ft_£ |
/ =1 |
|
|
|
|
= -тгЦ 2 |
х 1Ум' |
(* = 0 ,1 ,2 .......т), |
(10.85) |
где k — текущее число задержек; т — максимальное число задер
жек и |
(рху (kA) — оценка |
взаимной корреляционной |
функции |
х (iA) и у (i‘A) для смещения kA. |
|
Очень |
удобны значения |
корреляционных функций для нулевых |
задержек: |
|
|
|
|
Ф**(°) = -£- |
2 * 2(*'Л) = £(х2) |
(Ю.86) |
И |
|
|
i= l |
|
|
|
|
|
|
Ф*»(0)=-£- |
2 |
x(iA)y{iA)=E{xy). |
(10.87) |
|
|
<= 1 |
|
Максимальная задержка тА определяет эквивалентное разре шение частотной полосы пропускания для оценок спектральной плотности в интервале частот 0 ^ Д, где Д — частота среза. Предположим, что скорость выборки Д вдвое превышает частоту среза; т. е.
В соответствии с уравнением (6.55) примем, чтодиапазон частот от —Д ДО + / с разделен на т частотных интервалов, т. е.
Af = 2fc/m = fa/m= 1/тД = 1/тмак0. |
(10.89) |
Можно предположить и то, что эквивалентная полоса пропускания А/ вдвое превышает интервал, полученный делением диапазона час тот от 0 до Д на т равных интервалов, т. е. что эквивалентная по лоса пропускания вдвое превышает истинную полосу пропускания. Следовательно, при известном Д можно подобрать А/ выбором т. Ниже это обсуждается подробнее.
Спектральная плотность мощности. Автокорреляционная функ ция симметрична и поэтому преобразование Фурье, дающее спект ральную плотность мощности, представляет собой функцию с дей ствительными значениями. Этот случай гораздо проще, чем несим метричная функция взаимной корреляции, поэтому рассмотрим его отдельно. Симметрия позволяет использовать разложение по коси-
