Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

Пример. В табл. 1 приводятся данные, характеризующие чис­ ло деталей, необходимых для изготовления трех видов игрушек. Пусть Xi представляет число игрушек вида i (i = 1 , 2, 3), затребованных в за­ казе, a t/j — общее число деталей типа / (/ = 1 , 2, 3), необходимых для сборки игрушек при полном удовлетворении заказа на них. Тогда об­ щее число деталей может быть выражено в виде уравнений следующим образом:

Эти уравнения можно записать в матричном виде:

Таким образом, вектор игрушек преобразован путем умножения на

в вектор у, то линейное преобразование записывается как

у = Ах.

Общее линейное преобразование у = Ах обычно служит для ха­ рактеристики того, что у может быть получен как преобразование х.

50

Предположим, что мы хотим определить потребность в сырьё, нужном для изготовления деталей, чтобы составить соответствующий заказ. Эти потребности могли бы быть определены подстановкой значений уи у 2 и у 3, определяемых уравнениями (1), в уравнения (3). Однако мат­ ричная запись выражений (3)

позволяет выполнить эту подстановку также в матричной форме. Подстановка (2) в (4) дает

Умножение матриц в правой части уравнения приводит к следующему результату.

Трудоемкость такого преобразования меньше, чем трудоемкость пря­ мой алгебраической подстановки уравнений (1) в (3). Но эта разница в трудоемкости была бы еще больше, если бы число переменных бы­ ло больше, чем в данном примере. Основные усилия, связанные с пе­ реходом от выражения (5) к (6), реализуемом с помощью умножения матриц, сводятся к выполнению единственной арифметической опера­ ции,- которая в настоящее время легко выполняется на быстродей­ ствующей ЭВМ даже в тех случаях, когда имеется большое число переменных.

Только что приведенная иллюстрация является примером общего результата, согласно которому, если у — Ах и х = Bw, то у — ABw. Это справедливо для любых векторов х, у, w и любых матриц А и В.

51

2. ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦ

Пример. Когда мы впервые ввели понятие матрицы (см. параграф 2 главы I), был приведен пример, в котором рассматривались средние цены автомобилей при четырех различных сроках службы. Данные об этих ценах, приведенные за три года, были представлены в виде матри­ цы размером 4x3:

"1881 2120 2445"

1512 1676 1825

1261 1397 1484

1054 1144 1218

где строки относятся к сроку службы, а столбцы — к годам. В той ме­ ре, в какой это связано с характеристикой цен на автомобили, такой выбор строк матрицы полностью произволен и мы могли бы сразу же поменять местами строки и столбцы без какой-либо потери информации, получив строки для отдельных лет и столбцы для сроков службы. В этом случае цены были бы расположены следующим образом:

Хотя элементы этой матрицы те же, что и у первой, обе матрицы в соот­ ветствии с определением равенства матриц неодинаковы. В самом деле, у них даже разные размеры. Взаимосвязь между ними проявляется в том, что строки одной матрицы являются столбцами другой. В то время как первая матрица имеет размеры 4x3, размер второй матрицы 3x4. Когда матрицы связаны подобным образом, то говорят, что каж­ дая из них является транспонированной матрицей относительно дру­ гой. Например, В есть транспонированная матрица Л, а Л — транспо­ нированная матрица В.

В общем транспонированная матрица есть матрица, чьи столбцы являются строками А при сохранении их порядка (от первого к послед­ нему). Транспонирование записывается как А'. Строка Л' соответст­ вует столбцу А. Если А имеет размеры г X с, то размеры А' — с X г; если atj —элемент строки i и столбца j матрицы Л, то он может быть

52

понированной матрицей А'гХс могут иметь двоякий смысл: остается неясным, имеет ли матрица А размеры гХ с или это размеры матрицы А '. В последнем случае предполагается, что у матрицы Л размеры сХг. Для ясности, в тех случаях, когда необходимо ввести подписные значки, обозначающие размеры транспонированной матрицы, следует выбрать одну из эквивалентных форм записи: (ЛГХс)' или (Л')сХг.

Теперь рассмотрим свойства и следствия операции транспонирова­ ния.

а) РЕФЛЕКСИВНАЯ ОПЕРАЦИЯ

Транспонирование является рефлексивным. Это значит, что тран­ спонирование транспонированной матрицы есть сама матрица, т. е. (Л')' = Л. Это может быть показано следующим образом:

б) ВЕКТОРЫ

Транспонирование вектора-строки дает вектор-столбец, и наобо­ рот. Например, транспонирование

дает х' = [ 1 6 4].

Это совместимо с уже введенным обозначением, согласно которому вектор-строка обозначается верхним штрихом. Этот значок указывает на то, что вектор-строка есть транспонированный вектор-столбец, содержащий те же элементы, и отличает его от этого вектора-столбца.

в) СУММЫ

Транспонированная сумма матриц равна сумме транспонированных матриц. Если

Л + В = С = {си } = {аи + Ьи },

тогда

(Л ~Ь В)' = С' = {с,/} = {cji} = {ciji 4~ Ьл} = {ciji} -j- {bji}

и, таким образом,

(Л + ву = А' + В'.

53

г) П Р О И З В Е Д Е Н И Е

Транспонирование произведения матриц равно произведению транс­ понированных матриц, взятых в обратном порядке1, т. е. (АВ)' = В 'А '.

Пример.

Рассмотрение размеров и условий перемножения матриц подтверждает этот результат. Если А есть матрица г X s и В — матрица s X t, то размеры произведения Р = АВ составят г X t. Однако А ' имеет раз­ меры s х г, а В' — t X s, и единственное произведение, которое может быть получено на основе этих матриц, следующее:

Bfxs AsX.r — Q txr•

То, что матрица Q = В 'А ' является транспонированной матрицей Р = АВ, вытекает также из определения произведения матриц: ij-й элемент Q равен скалярному произведению i-й строки В' и /-го столбца А'\ кроме того, этот элемент равен скалярному произведению t'-ro столбца В и /-й строки А, а это, по определению операции умножения, есть ji-й член матрицы Р. Отсюда Q — Р' или В'А ' = (АВ)'.

Прямое обобщение результата, полученного для транспонирования произведения двух матриц, приводит к следующему:

(ABCD)' = D'C'B'A' и т. д.

д) СИММЕТРИЧЕСКИЕ МАТРИЦЫ

Пример. Когда две переменные лу и х 2 находятся в некотором соот­ ветствии друг сдругом, то говорят, что они коррелируют. Степень кор­ реляции между переменными измеряется с помощью коэффициента кор­ реляции. Коэффициенты корреляции имеют величину, находящуюся в пределах от —1,0 до 1,0. Отрицательные значения указывают на об­ ратную зависимость между переменными (если одна растет, то другая имеет тенденцию к уменьшению), а положительные значения указы­ вают на прямую зависимость (если одна растет, то вторая также имеет

(АВ)' = С = {с;,} = {сл) = { | ajk Ц = { I a k}’ Ц = j | b[k а ' у.( = В ' А ' ,

54