Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

в) Допустим, что участники игры вступают в коалицию, как с помощью совместных действий можно максимизировать сумму их общего выигрыша? Как выглядит в этом случае их общая платежная матрица?

6 . Рассмотрим данные о расходах на перевозку товара, отгружаемого на тех или иных заводах в различные места назначения. Пусть размер нашей матрицы

45

покажите, что АХ = ВХ, хотя A=f=B.

11. Пусть А = {aij} при г, / = 1, 2, ... , г,

в соответствии с принятыми допущениями вероятные изменения процентных ставок заданы, например, такой матрицей вероятностей перехода:

в заголовках строк и столбцов указываются процентные ставки соответственно

5, 6 , 7%.

а) Текущий вектор вероятностей состояния для каждой из процентных

ющих соотношений:

х'а=х'2Р = х(Р2.

в) Приведенная матрица вероятностей перехода обладает специфическим свойством: сумма элементов каждой ее строки и каждого столбца равна единице. Матрицу такого вида называют двоякостохастической матрицей. Произведе­ ние, полученное путем умножения х\ справа на всевозможные матрицы такого

вида, при неограниченно возрастающем п будет стремиться к пределу — вектору

46

Д) ST = TS = Т2 и е) S2 = — (7+6Т + 9Р). 16

14. Воспользовавшись данными, приведенными в упражнении 7 главы I, допустим, что предполагаемый спрос на билеты характеризуется следующим распределением вероятностей:

Для того чтобы вычислить ожидаемый уровень издержек при каждом из воз­ можных решений, умножьте эту матрицу на вектор вероятностей. Будут ли раз­ личаться между собой результаты в зависимости от того, как мы будем умножать матрицу на вектор: справа или слева?

15. Рассматривается проект вложения капитала сроком на три года, кото­

Допустим, что проект будет принят в том случае, если совокупный доход от капи­ таловложений (в пересчете на сегодняшний доход) будет превышать требую­ щиеся затраты, составляющие 5000 долларов, причем дисконтирование ожидае­ мого дохода проводится по годовой ставке 10%. При такой ставке дисконтирова­ ния доход, который будет получен на протяжении первого года, должен быть ум­ ножен на 0,9091, на протяжении второго года — на 0,8264 и на протяжении третьего — на 0,7513. Запишите денежную выручку и дисконтирующие множи­ тели в векторной форме; перемножив их между собой, определите, чему равен дисконтированный совокупный доход от капиталовложений. Будет ли принят рассматриваемый проект?

16. а) Рассмотрим линейную производственную функцию

Qt —Ьххц +Ь2х2(,

где хи и X2t обозначают соответствующие затраты за период 7; bt и Ь2 — техно­ логические коэффициенты; qt — выпуск продукции на протяжении периода t. Допустим, что вектор-строка q' = {qt} характеризует выпуск продукции на про­

47

1.ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Впредыдущей главе мы уже видели, что произведение матрицы

Аи вектора х само является вектором. Обозначим этот вектор-произве­ дение через у. Тогда у —Ах. Из самого определения процесса умноже­ ния следует, что каждый элемент произведения есть сумма элементов вектора х, каждый из которых умножен на соответствующий элемент Л. Например,

У2 — Я21Х1 "Ь &22х2 “Ь <223X3-

Таким образом, если не все члены ап , а12 и а13 равны нулю, то элемент ух равен взвешенной сумме элементов х с весами, равными элементам первой строки матрицы А. Такая взвешенная сумма называется' ли­ нейной комбинацией элементов х\ она линейна, поскольку элементы х не имеют иной степени, кроме первой, и нет членов, содержащих более одного элемента вектора х. Следовательно, в произведении у = Ах элементы у являются линейными комбинациями х-ов; иными словами, вектор х был преобразован в вектор у с помощью умножения. Говорят, что в такой ситуации матрица А представляет собой линейное преоб­ разование х в у. Она и есть то операционное средство, с помощью ко­ торого элементы х преобразуются в элементы у.

Необходимость в линейном преобразовании одного ряда перемен­ ных в другой (или одного вектора в другой) возникает в различных обстоятельствах. В качестве иллюстрации воспользуемся задачей оп­ ределения производственных потребностей.

49