Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

в) РА Н Г М А Т Р И Ц Ы И ЕЕ О Б Р А Щ Е Н И Е

Понятие ранга матрицы помогает ответить на вопрос о том, можно ли решить систему Ах = у, получая х = А~гу. Такое решение возмож­ но лишь в том случае, когда существует Л -1, а это может быть лишь при | А | Ф 0; последнее условие справедливо только тогда, когда строки (и столбцы) матрицы линейно-независимы, или, другими словами, когда ранг матрицы А равен ее порядку. Введя понятие ранга, мы тем самым несколько меняем постановку задачи: вместо того, чтобы устанавли­ вать, равен ли нулю определитель квадратной матрицы, мы сопостав­ ляем теперь ранг матрицы с ее порядком. Если ранг матрицы меньше, чем ее порядок, то определитель матрицы равен нулю, а если ранг ма­ трицы равен ее порядку, тогда определитель не равен нулю. Посколь­ ку отношение между рангом матрицы и ее порядком легче исследовать, чем вычислять величину определителя, мы будем сопоставлять ранг матрицы с ее порядком для того, чтобы установить, существует ли об­

В последнем случае матрица Л не является вырожденной. Ранг обрат­ ной матрицы также равен п\ если бы ее ранг был меньше п, тогда опре­ делитель 1Л -1 | был бы равен нулю, но это противоречит нашему предположению о том, что существует Л -1.

Таким образом, для того чтобы ответить на вопрос, существует ли та или иная обратная матрица, нужно выяснить, равен ли ранг исход­ ной квадратной матрицы ее порядку. Но мы можем столкнуться с более общим случаем, когда требуется точно определить ранг как квадратных, так и прямоугольных матриц. Если ранг матрицы равен г, из этого следует, что г ее строк линейно-независимы, однако не всегда удается легко отыскать в матрице г независимых строк. С другой стороны, на практике нетрудно в каждом случае рассчитать значение г. Для этого широко используются матрицы, получившие название элементарных операторов, более подробно они рассматриваются в параграфе 5 дан­ ной главы.

г) МАТРИЦЫ ПОЛНОГО РАНГА

Если определитель квадратной матрицы не равен нулю, ее называ­ ют матрицей полного ранга. Таким образом, если о"квадратной матрице А говорят, что она полного ранга, это означает, что эта матрица не вырождена, | А \ Ф 0 и А~х существует.

Если ранг прямоугольной матрицы равен числу ее строк, ее назы­ вают матрицей полного строчного ранга, а если ранг равен числу столбцов — матрицей полного столбцового ранга.

Пример.

144

ранг этой матрицы равен трем, в таком случае перед нами матрица пол­ ного строчного ранга. Любая расчлененная матрица вида [/ К.] пред­ ставляет собой матрицу полного строчного ранга — среди I строк нет таких, которые можно представить в виде линейной комбинации, со­ ставленной из других строк, следовательно, это верно и для всей матрицы [I Ю.

5. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

а) ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В матричной алгебре важную роль играют три вида матриц, полу­ чивших название элементарных операторов. Все они представляют со­ бой квадратные матрицы, построенные на основе единичной матрицы. Если любую из них умножить на какую-либо другую матрицу, то в ре­ зультате соответствующих операций со строками (или столбцами) мы получим преобразования, аналогичные тем, которые применялись при упрощении определителя (см. параграф 3 главы IV). При этом произ­ ведение матриц имеет тот же ранг, что и исходная матрица. Указан­ ные два свойства элементарных операторов позволяют нам определить ранг любой матрицы. Рассмотрим следующие элементарные операторы.

1 . Ец — единичная матрица I, в которой лишь переставле­ ны строки i и /. Например,

В результате умножения матрицы А слева на Ец t-я и /-я строки матри­ цы А меняются местами. Например,

2. Ra (X) — единичная диагональная матрица I, у которой i-й диаго нальный элемент равен не единице, а А,. В результате умножения матрицы А слева на Ru (A) i-я строка матрицы А оказывается умно­ женной на А:

3. Рц (А) — это единичная матрица /, в которой вместо нуля в t-й строке и /-м столбце (при i ф /) записана А. Если умножить А слева

145

на Рц (X), то в результате /-я строка матрицы А оказывается прибав­ ленной Я раз к 1-й строке той же матрицы:

Таким образом, мы рассмотрели, что дает умножение матрицы сле­ ва на элементарные операторы. Умножение на элементарные операторы справа приводит к тем же результатам, что и умножение слева, только изменения происходят со столбцами матрицы А; теперь АРд (Я) бу­ дет предполагать те же действия над элементами столбцов матрицы А, что и Рц (к)А применительно к строкам матрицы А.

в) ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Записав элементарные операторы в общей форме, читатель может убедиться в том, что

\Еи \= - 1, |Ян(Ь)| = Ь и |Я„(Я)| = 1.

Определитель произведения матриц равен произведению определите­ лей соответствующих матриц, поэтому в тех случаях, когда матрица Л квадратна, умножение на элементарные операторы приводит к сле­ дующим результатам:

Таким образом, при транспонировании элементарные операторы со­ храняют свой вид; и, действительно, транспонирование не может изме­ нить вид Е- и /^-операторов, поскольку они симметричны. Р-оператор несимметричен, однако в результате его транспонирования вновь полу­ чается оператор того же типа.

д) ОБРАЩЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Можно убедиться в том, что

V Л л [ R i i W r ^ R i i ^ ) и [ P u M r ^ P u i - b ) .

146

Таким образом, при обращении ^-оператора мы получаем оператор прежнего вида, обращение R- и Д-операторов приводит лишь к изме­ нению соответствующих постоянных множителей, в частности, к за­

мене X на -j- в /^-операторе и к замене X на — X в Р-операторе. Все

это, а также результаты, приводившиеся в предшествующем абзаце, могут свидетельствовать о том, что общая форма любого из рассмат­ ривавшихся элементарных операторов не меняется при их транс­ понировании или обращении.

6. РАНГ МАТРИЦЫ И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

При умножении матрицы на элементарные операторы ее ранг не меняется; другими словами, если матрицу Л умножить на оператор лю­ бого типа, произведение будет сохранять ранг матрицы Л. В справедли­ вости этого утверждения мы можем убедиться, рассматривая умноже­ ние матрицы на каждый из операторов. Так, при умножении на Л сле­ ва ^-оператора произведение ЕА представляет собой матрицу Л, в ко­ торой поменялись местами две строки. Следовательно, произведение ЕА — это та же самая матрица Л, только содержащиеся в ней строки теперь расположены в иной последовательности. Количество линейно­ независимых строк при этом не изменилось. Поэтому г (ЕА) = г (А). При умножении Л на ^-оператор каждый элемент некоторой строки (или столбца) Л умножается на постоянную величину, а в результате умножения матрицы Л на Д-оператор получаем матрицу, которая отли­ чается от Л лишь тем, что элементы одной из строк (столбцов) после ум­ ножения на некоторое число складываются с соответствующими эле­

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАНГА МАТРИЦЫ

Мы видели, что ранг произведения, получаемого в результате умно­ жения матрицы на элементарный оператор, равен рангу исходной мат­ рицы; следовательно, и при последовательном умножении матрицы на несколько элементарных операторов ранг произведения окажется рав­ ным рангу исходной матрицы. Предположим, что в матрице любого вида А гх с диагональными элементами мы считаем элементы аи , а22, ••., a-dd, причем d равно меньшему из чисел г вс (когда А представ­ ляет собой квадратную матрицу, d = г = с, в таком случае указанные элементы действительно образуют диагональ матрицы). Все действия, связанные с умножением матрицы А на элементарные операторы, на­ правлены (как и при упрощении вида определителей) на то, чтобы обра­ щать некоторые элементы матрицы в нули. Элементарными оператора­ ми можно, в частности, пользоваться для того, чтобы обратить в нуль

147

элементы, лежащие ниже диагонали а1Ъ а22, ..., add, тогда число нену­ левых элементов, остающихся при этом на диагонали, характеризует порядок наибольшего ненулевого минора, а следовательно, и ранг мат­ рицы.

Пример. Допустим, что

Матрица, образующая произведение Р*РА, содержит два диагональ­ ных ненулевых элемента. Поэтому порядок наибольших невырожден­ ных миноров равен 2 X 2, и, следовательно, ранг матрицы Р*РА ра­ вен 2. Но отсюда вытекает, что и ранг матрицы А тоже равен 2, посколь­ ку матрица Р*РА получена в результате умножения слева матрицы А на элементарные операторы, т. е. в результате действий, которые не могли изменить исходного ранга матрицы.

Приведенный пример показывает, как умножение на операторы Р и Р* меняет вид матрицы А и как можно с помощью таких действий определить ранг А. Для того чтобы установить ранг матрицы, на прак­ тике не всегда требуется записывать соответствующие элементарные операторы. Во многих случаях мы просто осуществляем элементарные операции с матрицей, памятуя, что ее ранг при этом не меняется. А в тех случаях, когда оказываются нужны сами операторы, их нетрудно подо­ брать (см. параграф 9 данной главы).

Таким образом, для того чтобы определить ранг матрицы, элементы отдельных строк, умноженные на скалярные величины, складываются с соответствующими элементами других строк; основная цель этой операции—обратить в нуль элементы, расположенные под диагональю (диагональными мы по-прежнему называем элементы аи , а22, .., add). Сначала элементы первой строки нужны для того, чтобы обратить в нуль элементы первого столбца, расположенные под диагональю; ос­ новную роль в этих вычислениях играет первый элемент первой стро­ ки. На следующем этапе с помощью элементов второй строки обра­ щают в нуль лежащие под диагональю элементы второго столбца, при­ чем основную роль в этих вычислениях играет диагональный элемент второй строки. Поскольку расположенные ниже диагонали элементы

148