Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

первого столбца уже были обращены в нуль на предшествовавшем эта­ пе наших вычислений, второй шаг не меняет их значения. Далее шаг за шагом берут элементы каждой из следующих строк; этот процесс продолжается до тех пор, пока все элементы оставшихся строк не обра­ тятся в нули или пока не будут использованы элементы последней строки. После этого число диагональных элементов матрицы, не равных нулю, будет определять ранг матрицы.

Эти вычисления предполагают последовательное умножение на элементарные операторы; матрицы, получаемые в результате таких действий, называют эквивалентными. Таким образом, матрица А экви­ валентна матрице В в том случае, если В может быть получена из А пу­ тем умножения А на элементарные операторы. Для того чтобы запи­ сать, что А эквивалентна В, мы будем применять следующее обозна­ чение: А ^ В.

Пример. Предположим, что мы хотим найти ранг следующей ма­

Умножим элементы первой строки на 4 и вычтем их из соответствен­ ных элементов второй строки, а затем, умножив первую строку на 7, сложим ее с третьей. В результате мы получим

1 4 6

0 — 17 -—22

0 34 44

Теперь, умножив вторую строку новой матрицы на 2, сложим ее с треть­ ей строкой, тогда

4 6"

17—22 •

О0 .

Число ненулевых диагональных элементов этой матрицы равно 2,

таков, и ранг матрицы В.

Процедура вычислений считается завершенной тогда, когда все элементы, расположенные ниже диагонали и справа от первого нуле­ вого диагонального элемента, равны нулю. В некоторых случаях для этого необходимо переставить между собой строки и (или) столбцы. Рассмотрим, например, следующую матрицу:

149

Она получена из прежней матрицы В: дописана еще одна строка. Те­ перь проделаем с С все операции, которые ранее были проделаны с В, а затем, умножив первую строку на 2, вычтем ее из четвертой. В ре­ зультате этих вычислений получаем:

Теперь поменяем местами третью и четвертую строки:

Однако в этом случае наши вычисления еще не закончены, поскольку, хотя элемент (3,3) и равен нулю, но элемент (3, 4) отличен от нуля. Если же поменять местами третий и четвертый столбцы, тогда ненуле­ вым оказывается элемент (3,3):

Эта матрица содержит три ненулевых диагональных элемента, и мы можем сделать вывод о том, что г (D) = 3.

Сформулируем теперь в общем виде правила подобных вычислений, предпринимаемых для того, чтобы определить ранг матрицы: над каж­ дым (г, г)-м элементом матрицы (при i — 1 , 2, .... d, где d равно мень­ шему из чисел г и с) нужно проделать следующие действия.

1 5 0

Первый шаг. В тех случаях, когда элемент отличен от нуля, следует сразу перейти ко второму шагу. Если же данный элемент равен нулю, тогда нужно обратить его в ненулевой, поменяв местами i-ю и k-ю строки (при этом k может принимать любое из следующих значений: i + 1 , i + 2, и (или) переставив i-й и /-й столбцы (при этом / может принимать любое из следующих значений: i + 1 , i + 2...... с).

Второй шаг. К элементам строк i + 1, i + 2, ..., г следует прибав­ лять такие произведения соответствующих элементов i-й строки на скалярные величины, которые могут обратить в нуль все элементы г'-го столбца, находящиеся ниже диагонали.

Третий шаг. Операции, выполняемые на первых двух шагах вы­ числений, повторять до тех пор, пока дальнейшее осуществление пер­ вого шага окажется невозможным.

Тогда число ненулевых диагональных элементов будет определять ранг исходной матрицы.

8. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МАТРИЦ

Ранее говорилось что матрица А считается эквивалентной матрице В в том случае, когда В можно получить из А путем последовательно­ го умножения А на элементарные операторы. Таким образом, матрица А эквивалентна матрице В, если

РХР%... PsAQxQ2... Qt = В,

где Ри ..., Ps и Q*,..., Qt представляют собой любые элементарные опе­ раторы, причем с помощью P -операторов можно преобразовать строки, а с помощью Q-операторов — столбцы.

Покажем теперь, что эквивалентность матриц рефлексивна, т. е. если матрица А эквивалентна матрице В, то и В эквивалентна А. Предположим, что А представляет собой матрицу размером г X с; тогда каждый из P -операторов представляет собой квадратную матри­ цу порядка г, а каждый из Q-операторов — квадратную матрицу по­ рядка с, поэтому размеры совпадают с размерами А, они равны г X с. Обозначим произведение P -операторов буквой Р, а произведение Q-операторов —буквой Q. Тогда Р и Q будут представлять собой квад­ ратные матрицы; существуют и их обратные матрицы. Поскольку PAQ = В, из этого следует, что

Однако матрица, полученная в результате обращения элементарного оператора, сама будет элементарным оператором, откуда следует, что Р -1 и Q-1 представляют собой произведения элементарных операторов. Поэтому уравнение (9) может свидетельствовать о том, что, умножая

151

В на элементарные операторы, можно получить А. Следовательно, В эквивалентна А, тем самым доказано, что эквивалентность матриц рефлексивна, или, другими словами, если матрица А эквивалентна матрице В, то вместе с тем и матрица В эквивалентна матрице А.

9. ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦ К ЭКВИВАЛЕНТНОЙ КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Любая матрица А ранга г эквивалентна матрице С, имеющей вид

Qr q , где С представляет собой матрицу тех же размеров, что и А,

I т— единичную матрицу порядка г, а нули обозначают нулевые матрицы соответствующих размеров.

Пример. Матрица

“2 6 4 2

А = 4 15 14 7

2 9 10 5

имеет ранг 2 (вторая ее строка равна сумме двух других). Для того что­ бы от матрицы А перейти к матрице С, проделаем над А следующие операции:

Операции

где DT— диагональная матрица, содержащая г ненулевых элементов. Такую матрицу часто называют диагональной формой матрицы А. Матрицу А можно привести и к виду матрицы С. Для этого перейдем к действиям над столбцами:

152