Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

поскольку ранг матрицы А равен 2.

Аналогичные операции с матрицей размером т X я и ранга г при­ водят к следующим результатам:

1г Огхп—г -

АтХп

От— гХ г От—г Х п —г

где нули обозначают нулевые матрицы, размеры которых указаны со­

г= т = п, то матрица приводится к виду 1п.

Внашем примере предполагалось, что существуют такие матрицы

Ри Q, при которых PAQ = С, где Р и Q представляют собой произве­

Матрицу С обычно называют эквивалентной канонической формой мат­ рицы А, или канонической формой, полученной с помощью эквивалент­ ного преобразования*. Процедуру перехода от матрицы А к матрице С часто называют приведением к эквивалентной канонической форме.

Если требуется найти только общий вид С, можно поступить так, как было сделано выше, т. е. выполнить необходимые элементарные

раторы, можно воспользоваться следующим соотношением: PAQ = = (PI)A (1Q). Поэтому, преобразовав единичную матрицу с помощью тех же действий, которые проделывались над матрицей А для того, чтобы привести ее к канонической форме, мы получим матрицы Р и Q, при этом Р объединяет все операции со строками, a Q — все операции

*В нашей литературе в таких случаях обычно употребляются термины «ка­ ноническая матрица» или «каноническая диагональная матрица» (см. например, Г а н т м а х е р Ф. Р. Теория матриц. М., «Наука», 1967). — Прим, перев.

153

со столбцами. Так, в нашем примере можно получить Р, проделав с / 3 операции 1 и 2. В этом случае:

Кроме того, проделав с /4 операции 3, 4 и 5, мы получим Q:

Проверим этот результат, проведя следующие вычисления:

что и требовалось доказать.

В вычислениях такого рода матрицы Р и Q определяются неодно­

154

Конечный вид операторов Р и Q зависит от того, в каком порядке проводятся отдельные элементарные операции, однако матрица С всегда будет иметь один и тот же вид независимо от того, как выглядит исходная матрица. У нее те же размеры, что и у матрицы А, и все мат­

(нули здесь обозначают нулевые матрицы соответствующих размеров).

10. КОНГРУЭНТНОЕ ПРИВЕДЕНИЕ СИММЕТРИЧЕСКИХ МАТРИЦ

Процесс приведения симметрических матриц к каноническому виду более прост; этим обстоятельством часто пользуются в тех слу­ чаях, когда особенно удобна каноническая форма матриц, и прежде всего при упрощении вида квадратичных форм.

В уравнении (10) матрица приведена к так называемой диагональ­ ной форме:

где Dr — диагональная матрица, содержащая г отличных от нуля элементов. Рассмотрим процесс приведения симметрической матрицы к форме А. В симметрической матрице элементы каждого столбца сов­ падают с элементами соответствующей строки; поэтому, если осущест­ вить с соответствующими столбцами те операции, которые необходимо проделать со строками матрицы Л для того, чтобы обратить в нуль эле­ менты, расположенные ниже диагонали, то при этом обратятся в нуль также и те элементы, которые расположены выше диагонали. Следо­ вательно, если матрица А симметрична, проводя со столбцами и стро­ ками одни и те же операции, можно привести А к диагональной форме Д. Но это означает, что в произведении PAQ матрица Q равна транс­ понированной матрице Р, т. е. Q — Р '. Следовательно, для симметри­ ческой матрицы РАР' = А.

Предположим, что все диагональные элементы Dг положительны; тогда можно построить диагональную матрицу RT, элементы которой будут представлять собой квадратные корни из единицы, деленной на соответствующий диагональный элемент матрицы D, т. е. Rf =■■D p \ Допустим, что порядок матрицы А равен п и что

155

этого нужно умножить А слева на матрицу FP и справа на ее транспо­ нированную матрицу P'F. Такие вычисления называются конгруэнт­ ным приведением симметрической матрицы, а С называется канони­ ческой формой, полученной с помощью конгруэнтного приведения.

Теперь предположим, что не все диагональные элементы матрицы Dr положительны, пусть q из них отрицательны. Тогда произведе­ ние РАР' умножим слева и справа на такой элементарный ^-оператор, чтобы первые r—q диагональных элементов матрицы Dr оказались по­ ложительными, а последние q элементов — отрицательными. Новое произведение будем обозначать Р*АР*'. Под F меч будем понимать ту же матрицу, что и раньше, только R T теперь образуют элементы, равные квадратному корню из единицы, деленной на соответствующие элементы матрицы Dr, независимо от того, какой у них знак. В резуль­ тате умножения получаем

Мы рассмотрели общую методику конгруэнтного приведения симмет­ рической матрицы А к канонической форме. Если q = 0, тогда канони­ ческая форма сводится к С. Разность между порядками Ir_q и I q назы­ вается сигнатурой Л; другими словами, сигнатура равна г—2q. На­ личие на диагонали символов со знаком минус означает, что для при­ ведения матрицы к этой форме необходимы только действительные чис­ ла. Если читатель настолько подготовлен, что может оперировать и с

мнимыми числами, включающими i = \А—1 , тогда в процессе приведе­ ния матрицы к форме С можно воспользоваться сомножителем F, со­ держащим мнимые числа.

Пример. С помощью следующих операций можно привести симмет­

156

что и требовалось доказать.

Пример. Когда приходится сталкиваться с квадратичными форма­ ми (см. параграф 3 главы III), во многих случаях полезно выяснить, можно ли представить х'Ах в виде суммы квадратов линейных комби­ наций из элементов вектора х; есди это возможно, тогда форма х'Ах положительно полуопределена. Пусть даны, например,

Тогда (см. равенство (10) из параграфа 3 главы III)

х'Ах — 4х\ + 45x1 + 136x1 + 24x^2 + 40x^3 +

+1 5 6 х 2х 3.

Далее, можно показать, что если Р имеет вид

Допустим, что мы теперь можем прибегнуть к линейному преобразо­ ванию у = Р'-Н или (что равносильно приведенному выражению)

157