Файл: Сирл, С. Матричная алгебра в экономике.pdf

х = Р'у. Тогда квадратичная форма х'Ах приобретает следующий вид:

то квадратичная форма тогда может быть выражена следующим обра­ зом:

х'Ах = у\ + у\ = (2хх + 6х2 + 10х3)2 + + (Зх2+ 6х3)2.

Заметим, что ранг матрицы А, т. е. число отличных от нуля элементов в матрице РАР' , совпадает с числом возводимых в квадрат сумм в по­ лученном в конечном счете выражении х'Ах.

11. РАНГ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МАТРИЦ

Приводимые далее теоремы устанавливают соотношения между ран­ гом произведения АВ и рангами исходных матриц А я В.

Теорема 3. Ранг произведения A mXq Bqxn не может быть больше,

и

РАВ = 1Г О Q~XB.

Оо

Это выражение равно, скажем,

~G‘

О ’

158

где G означает матрицу порядка г X п. Следовательно, г (РАВ) не мо­ жет превосходить г; поскольку же через Р обозначается произведе­ ние элементарных операторов, г (РАВ) = г (АВ), так что г (АВ) не может превосходить ранг матрицы А. Аналогичным образом можно показать, что ранг АВ не может превосходить ранг матрицы В. Следо­ вательно, г (АВ) не может превосходить ни ранга матрицы .А, ни ранга матрицы В.

12. ПРИЛОЖЕНИЕ

а) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ДВУХ ТЕОРЕМ

Теорема 1. Система линейно-независимых n-мерных векторов не может содержать более п таких векторов.

Доказательство. Допустим, что их, и2, ..., ип образуют систему, состоящую из п независимых n-мерных векторов. Тогда можно пока­ зать, что любой другой ненулевой ?г-мерный вектор, скажем ип+\, не является независимым от них.

Рассмотрим следующие уравнения:

единственное решение относительно вектора q. Поэтому в уравнении (11 ), которое можно переписать в следующем виде:

9 l u l + <72W2 + + 9 п и п + Ы/1 + 1 = О, ( 12)

не все множители q будут равны нулю.

Нетрудно заметить, однако, что соотношение (12) представляет со­ бой частный случай уравнения, общая форма которого должна иметь следующий вид:

k xl l x + k 2U 2 + + k n Un + k a + x Щг-|-1 = 0. (13)

Показав, что не все множители k в этом уравнении равны нулю, мы тем самым доказали, что векторы их, и2, ..., ип, ип+1 линейно-зависимы между собой.

Теорема 2. Число независимых строк в матрице равно числу содер­ жащихся в ней независимых столбцов.

Доказательство. Пусть "А представляет собой матрицу размером pXq\ предположим, что она содержит k независимых строк и т неза­ висимых столбцов. Тогда каждая из строк представляет собой вектор порядка q. Из теоремы 1 следует, что k ^ q; аналогичным образом при-

159

ходим к выводу о том, что т <; р. Заметим при этом, что такое свой­ ство, как независимость строк (или столбцов) матрицы, характеризует только сами строки (или столбцы); оно не зависит от расположения строк (или столбцов) в матрице. Поэтому, если мы предположим, что независимы первые k строк (а также первые т столбцов), то это не ока­ жет никакого влияния на все выводы, предполагающие линейную не­ зависимость определенного числа строк (или столбцов) матрицы. Такое предположение позволяет упростить наши рассуждения. В матрице А выделим подматрицу, имеющую размеры k X т. В эту подматрицу входят элементы, находящиеся на пересечении k независимых строк и т независимых столбцов. Тогда А будет иметь вид:

где соответствующие и представляют собой векторы порядка k, a v — векторы порядка р — k.

Покажем, что к = т. Допустим, что столбцы подматрицы X линей­ но-зависимы, или, другими словами, что существует такой ненулевой набор чисел А,!, А2, ..., Хт, при котором

*

Тогда, поскольку первые k строк матрицы А (т. е. строки, образую­ щие подматрицу X) линейно-независимы, строки подматрицы Z пред­ ставляют собой линейные комбинации строк Х\ в таком случае суще­ ствует матрица К , такая, что оказывается справедливым следующее равенство:

160

Но из этого следует, что т столбцов матрицы А, входящих в подматри­ цы X и Z, зависимы между собой, что противоречит исходному усло­ вию. Следовательно, неверно предположение, что столбцы подматри­ цы X зависимы между собой и т векторов и независимы. Однако поря­ док векторов и равен k, поэтому в соответствии с теоремой 1 они могут быть независимы лишь в том случае, если т ^ к. Проведя аналогичное доказательство, можно показать также, что и k строк подматрицы X, каждая из которых насчитывает т элементов, независимы и, следова­ тельно, k ^ т. Поэтому k — т и число независимых строк в матрице

Аравно числу содержащихся в ней независимых столбцов.

6)РАСЧЛЕНЕНИЕ МАТРИЦ

Допустим, что строки матрицы Q представляют собой линейные комбинации строк матрицы Р, тогда существует такая матрица X, что справедливо равенство Q = ХР. Это вытекает из определения опе­ рации умножения матрицы на матрицу. Аналогичным образом, если столбцы матрицы R представляют собой линейные комбинации столб­ цов матрицы S, то существует такая матрица Y, что справедливо равенство R = SY.

Предположим, что в матрице MpXq ранга г независимы первые г столбцов и первые г строк. Тогда матрицу М можно представить в сле­ дующем виде:

Ho [C D] можно записать таким образом:

[С D] = А (р -л )Хг [А В] = [КА КВ],

и, следовательно,

К А КВ

Можно записать аналогичным образом: